Кіріспе
Математикалық ұғым
Математикалық логикада арифметикалық жиын (немесе арифметикалық жиын) – бірінші реттік Пеано арифметикасының формуласымен анықталатын натурал сандардың жиыны. Арифметикалық жиындар арифметикалық иерархия бойынша жіктеледі. Анықтама кез келген саналатын A жиынына (мысалы, n бүтін сан жұптарының жиыны, рационал сандар жиыны, кейбір формальді тілдегі формулалар жиыны және т.б.) Гёдель сандарын жиын элементтерін көрсету үшін пайдалану арқылы, егер A жиынының кіші жиыны сәйкес Гёдель сандарының арифметикалық жиыны болса, арифметикалық деп белгіленеді. Егер функцияның графигі арифметикалық жиын болса, онда функция арифметикалық түрде анықталған деп аталады. Нақты сан, егер оған кіші барлық рационал сандардың жиыны арифметикалық болса, арифметикалық деп аталады. Кешенді сан, егер оның нақты және жорамал бөліктерінің екеуі де арифметикалық болса, арифметикалық деп аталады.
In mathematical logic, an arithmetical set (or arithmetic set) is a set of natural numbers that can be defined by a formula of first order Peano arithmetic. The arithmetical sets are classified by the arithmetical hierarchy. The definition can be extended to an arbitrary countable set A (e. g. the set of n tuples of integers, the set of rational numbers, the set of formulas in some formal language, etc.) by using Gödel numbers to represent elements of the set and declaring a subset of A to be arithmetical if the set of corresponding Gödel numbers is arithmetical. A function is called arithmetically definable if the graph of is an arithmetical set. A real number is called arithmetical if the set of all smaller rational numbers is arithmetical. A complex number is called arithmetical if its real and imaginary parts are both arithmetical.
Ресми анықтама
Натурал сандардың X жиыны арифметикалық немесе арифметикалық түрде анықталған болады, егер Пеано арифметикасының тілінде φ(n) түріндегі бірінші реттік формула болса, онда әрбір n саны X жиынына кіретін болса және тек қана φ(n) арифметиканың стандартты моделінде орындалса. Сол сияқты, k-арғы қатынас арифметикалық болады, егер табиғи сандардың кез келген k-топтамасы үшін орындалатын формула болса. Егер функцияның графигі арифметикалық (k+1)-арғы қатынас болса, онда ол арифметикалық функция деп аталады. A жиыны B жиынында арифметикалық деп есептеледі, егер A жиыны B жиынын параметр ретінде қолданатын арифметикалық формуламен анықталса.
Мысалдар
Барлық жай сандар жиыны арифметикалық. Кез келген рекурсивті санамалы жиын арифметикалық. Кез келген есептеуге болар функция арифметикалық түрде анықталады. Тоқтау мәселесін кодтаушы жиын арифметикалық. Чейтин тұрақтысы Ω – арифметикалық нақты сан. Тарскидің анықталмау теоремасы, бірінші реттік арифметиканың (Гёдель нөмірлерінің) дұрыс формулалар жиыны арифметикалық түрде анықталмайтынын көрсетеді.
Қасиеттері
Арифметикалық жиынның толықтыруы – арифметикалық жиын. Арифметикалық жиынның Тьюринг секіруі – арифметикалық жиын. Арифметикалық жиындар жиынтығы санаулы, бірақ арифметикалық жиындар тізбегі арифметикалық түрде анықталмайды. Сондықтан, m саны n-ші арифметикалық предикаттың мүшесі болғанда ғана шын болатын φ(n, m) арифметикалық формуласы жоқ. Шындығында, мұндай формула барлық шекті Тьюринг секірулері үшін шешім мәселесін сипаттайды, демек ол 0(ω) класына жатады, ал ол бірінші реттік арифметикада формальдануға келмейді, себебі ол бірінші реттік арифметикалық иерархияға жатпайды. Нақты арифметикалық сандар жиыны санаулы, тығыз және рационал сандар жиынымен рет бойынша изоморфты.