Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бүкіл сандардың реттелген тізімі
Ordered list of whole numbers
Математикада бүтін сандар тізбегі – бүтін сандардың тізбегі (яғни реттелген тізімі). Бүтін сандар тізбегін оның n-ші мүшесі үшін формула беріп немесе оның мүшелері арасындағы қатынасты көрсете беру арқылы нақты анықтауға болады. Мысалы, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 (Фибоначчи тізбегі) тізбегі 0 және 1-ден басталып, содан кейін келесі санды алу үшін кез келген екі тікелей жатқан санды қосу арқылы құралады: жасырын сипаттама. 0, 3, 8, 15 тізбегі n-ші мүшесі үшін n² – 1 формуласы бойынша құралады: нақты анықтама. Басқаша айтқанда, бүтін сандар тізбегін тізбек мүшелерінің иеленетін, ал басқа бүтін сандардың иеленбейтін қасиеті арқылы да анықтауға болады. Мысалы, берілген бүтін сан толық сан екенін анықтай аламыз, тіпті n-ші толық сан үшін формула болмаса да.
In mathematics, an integer sequence is a sequence (i. e., an ordered list) of integers. An integer sequence may be specified explicitly by giving a formula for its nth term, or implicitly by giving a relationship between its terms. For example, the sequence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (the Fibonacci sequence) is formed by starting with 0 and 1 and then adding any two consecutive terms to obtain the next one: an implicit description The sequence 0, 3, 8, 15, is formed according to the formula n2 − 1 for the nth term: an explicit definition. Alternatively, an integer sequence may be defined by a property which members of the sequence possess and other integers do not possess. For example, we can determine whether a given integer is a perfect number, , even though we do not have a formula for the nth perfect number.
Есептелетін және анықталатын тізбектер
Егер n берілгенде an-ді есептейтін алгоритм болса, бүтін сандар тізбегі есептелетін болады, барлық n > 0 үшін. Есептелетін бүтін сандар тізбегінің жиыны санауға болады. Барлық бүтін сандар тізбектерінің жиыны санауға болмайтын (кардиналдылығы континууммен тең), сондықтан барлық бүтін сандар тізбектері есептелетін емес. Кейбір бүтін сандар тізбектерінің анықтамасы болғанымен, бүтін сандар тізбегінің ғаламда немесе кез келген абсолютті (модельге тәуелсіз) мағынада анықталуының не екенін анықтаудың жүйелі жолы жоқ. M жиыны ZFC жиындар теориясының транзитивті моделі деп есептеңіз. M-нің транзитивтілігі M ішіндегі бүтін сандар мен бүтін сандар тізбегінің шын мәнінде бүтін сандар мен бүтін сандар тізбегі екенін білдіреді. Бүтін сандар тізбегі, егер жиынтық теория тілінде P(x) формуласы бар болса, бір еркін айнымалы және параметрлері жоқ, бұл M-де сол бүтін сандар тізбегі үшін дұрыс, ал M-де барлық басқа бүтін сандар тізбектері үшін жалған болса, M-ге қатысты анықталатын тізбек болып табылады. Әр осындай M-де есептелетін емес, мысалы, есептелетін жиынтықтардың Тьюрингтік секірулерін кодтайтын тізбектер сияқты анықталатын бүтін сандар тізбегі бар. ZFC-нің кейбір транзитивті модельдері M үшін M-дегі бүтін сандардың әрбір тізбегі M-ге қатысты анықталады; басқалары үшін тек кейбір бүтін сандар тізбектері ғана анықталады (Hamkins және басқалар, 2013). M-ге қатысты анықталатын тізбектер жиынтығын M-де анықтаудың жүйелі жолы жоқ және бұл жиынтықтың кейбір M-де тіпті болмауы мүмкін. Сол сияқты, M-дегі бүтін сандар тізбектерін анықтайтын формулалар жиынтығынан олар анықтайтын бүтін сандар тізбектеріне арналған функция M-де анықталмайды және M-де болмауы мүмкін. Алайда, мұндай анықталу функциясына ие кез-келген модельде, модельдегі кейбір бүтін сандар тізбектері модельге қатысты анықталмайды (Hamkins және басқалар, 2013). Егер M барлық бүтін сандар тізбектерін қамтитын болса, онда M-де анықталатын бүтін сандар тізбектерінің жиыны M-де болады және M-де санауға болады.
An integer sequence is a computable sequence if there exists an algorithm which, given n, calculates an, for all n > 0. The set of computable integer sequences is countable. The set of all integer sequences is uncountable (with cardinality equal to that of the continuum), and so not all integer sequences are computable. Although some integer sequences have definitions, there is no systematic way to define what it means for an integer sequence to be definable in the universe or in any absolute (model independent) sense. Suppose the set M is a transitive model of ZFC set theory. The transitivity of M implies that the integers and integer sequences inside M are actually integers and sequences of integers. An integer sequence is a definable sequence relative to M if there exists some formula P(x) in the language of set theory, with one free variable and no parameters, which is true in M for that integer sequence and false in M for all other integer sequences. In each such M, there are definable integer sequences that are not computable, such as sequences that encode the Turing jumps of computable sets. For some transitive models M of ZFC, every sequence of integers in M is definable relative to M; for others, only some integer sequences are (Hamkins et al. 2013). There is no systematic way to define in M itself the set of sequences definable relative to M and that set may not even exist in some such M. Similarly, the map from the set of formulas that define integer sequences in M to the integer sequences they define is not definable in M and may not exist in M. However, in any model that does possess such a definability map, some integer sequences in the model will not be definable relative to the model (Hamkins et al. 2013). If M contains all integer sequences, then the set of integer sequences definable in M will exist in M and be countable and countable in M.
Толық тізбектер
Оң бүтін сандар тізбесі толық тізбек деп аталады, егер кез келген оң бүтін санды тізбектегі сандардың қосындысы түрінде, әр санды бір ретке дейін ғана пайдаланып жазуға болады.
A sequence of positive integers is called a complete sequence if every positive integer can be expressed as a sum of values in the sequence, using each value at most once.