Кіріспе
Рационалды сандарды кеңейтетін сандық жүйе. Сандар теориясында, p жай санын бергенде, p-адық сандар рационалды сандардың кеңейтілгенін құрайды, бұл нақты сандардан өзгеше, бірақ кейбір ұқсас қасиеттері бар; p-адық сандар ондыққа ұқсас (мүмкін шексіз) түрде жазылуы мүмкін, бірақ он емес, p жай санына негізделген цифрлармен және оңға емес, солға қарай кеңейтіледі. Мысалы, 3-тік базадағы рационалды санның өрбуін 3-адық өрбумен салыстыру. Формальды түрде, p жай саны берілгенде, p-адық сан k бүтін сан (теріс болуы мүмкін) болатын келесі қатар ретінде анықталады:
In number theory, given a prime number p, the p adic numbers form an extension of the rational numbers which is distinct from the real numbers, though with some similar properties; p adic numbers can be written in a form similar to (possibly infinite) decimals, but with digits based on a prime number p rather than ten, and extending to the left rather than to the right. For example, comparing the expansion of the rational number in base 3 vs. the 3 adic expansion,
Formally, given a prime number p, a p adic number can be defined as a series
where k is an integer (possibly negative), and each is an integer such that A p adic integer is a p adic number such that
In general the series that represents a p adic number is not convergent in the usual sense, but it is convergent for the p adic absolute value where k is the least integer i such that (if all are zero, one has the zero p adic number, which has 0 as its p adic absolute value). Every rational number can be uniquely expressed as the sum of a series as above, with respect to the p adic absolute value. This allows considering rational numbers as special p adic numbers, and alternatively defining the p adic numbers as the completion of the rational numbers for the p adic absolute value, exactly as the real numbers are the completion of the rational numbers for the usual absolute value. p adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p adic numbers.
онда әрбір – бүтін сан, сондықтан p-адық сан болып табылады. Жалпы, p-адық санды білдіретін қатар әдеттегі мағынада жинақталмайды, бірақ ол p-адық абсолюттік мәніне жинақталады, мұнда k – болатын ең кіші i бүтін саны (егер барлық нөл болса, онда нөлдік p-адық сан болады, оның p-адық абсолюттік мәні 0-ге тең). Бұл рационалды сандарды арнайы p-адық сандар ретінде қарастыруға және p-адық сандарды p-адық абсолюттік мәні бойынша рационалды сандардың толықтырылуы ретінде анықтауға мүмкіндік береді, дәл сол сияқты нақты сандар әдеттегі абсолюттік мән бойынша рационалды сандардың толықтырылуы болып табылады. p-адық сандарды алғаш рет 1897 жылы Курт Хенсель сипаттаған, бірақ кейіннен Эрнст Кумердің ертерек жұмыстарының кейбіреулерін p-адық сандарды жасырын түрде қолданған деп түсіндіруге болады.
In number theory, given a prime number p, the p adic numbers form an extension of the rational numbers which is distinct from the real numbers, though with some similar properties; p adic numbers can be written in a form similar to (possibly infinite) decimals, but with digits based on a prime number p rather than ten, and extending to the left rather than to the right. For example, comparing the expansion of the rational number in base 3 vs. the 3 adic expansion,
Formally, given a prime number p, a p adic number can be defined as a series
where k is an integer (possibly negative), and each is an integer such that A p adic integer is a p adic number such that
In general the series that represents a p adic number is not convergent in the usual sense, but it is convergent for the p adic absolute value where k is the least integer i such that (if all are zero, one has the zero p adic number, which has 0 as its p adic absolute value). Every rational number can be uniquely expressed as the sum of a series as above, with respect to the p adic absolute value. This allows considering rational numbers as special p adic numbers, and alternatively defining the p adic numbers as the completion of the rational numbers for the p adic absolute value, exactly as the real numbers are the completion of the rational numbers for the usual absolute value. p adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p adic numbers.
Мотивация
Модульдік арифметика, негізінен, оң бүтін сан n-ге бөлінген кездегі қалдық арқылы әрбір бүтін санды "шамамен" белгілеуден тұрады, бұл қалдық n модулі бойынша қалдық деп аталады. Модульдік арифметиканың басты қасиеті – бүтін сандармен орындалған амалдар тізбегінің нәтижесінің n модулі бойынша қалдығы, сол амалдардың n модулі бойынша қалдықтармен орындалған нәтижесімен бірдей болады. Егер нәтиже абсолюттік мәні n/2-ден кіші екені белгілі болса, онда n-нен үлкен ешқандай бүтін санды қолданбай нәтижені есептеуге болады.
Ал үлкен нәтижелер үшін, әлі де жиі қолданылатын ескі әдіс – бірнеше кіші модульдерді пайдалану, олар өзара жай (бір-біріне бөлінбейтін), және модульдердің көбейтіндісі бойынша нәтижені қалпына келтіру үшін Қытайлық қалдық теоремасын қолдану. Курт Хензельдің тағы бір әдісі – p жай санын модуль ретінде пайдалану және нәтижені қайталап қалпына келтіру үшін Хензель леммасын қолдану. Егер бұл процесс шексіз жалғасқан жағдайда, ақырында p-адикалық сан болатын нәтиже шығады.
P-адикалық тізбекті нормалау
Тізбектің басынан бастап, жоғарыдағы бірінші лемма p-адикалық бағалауы нөлге тең болатын эквивалентті тізбек алуға мүмкіндік береді. Мұны істеу үшін, бірінші нөлдік емес мүшені қарастырамыз. Егер оның p-адикалық бағасы нөл болса, v-ді i-ге ауыстыру жеткілікті, яғни жиынды v-ден бастау керек. Әйтпесе, p-адикалық бағасы болады, мұндағы бағалау нөлге тең; сондықтан, мүшені 0-ге ауыстырып, осы процесті қайталау арқылы, ақырында, мүмкін шексіз көп қадамдардан кейін, нөлдік тізбек немесе бағалауы нөлге тең тізбек алынады. Егер тізбек нормаланбаған болса, онда [0,1] аралығындағы бүтін сан емес, бірінші нөлдік емес мүшені қарастыру керек. Жоғарыдағы екінші лемма оны жазуға мүмкіндік береді – осыдан n эквивалентті тізбек алынады, мүшені оның орнына қойып, содан кейін 1-ді қосамыз. Бұл процесті қайталау арқылы, мүмкін шексіз көп рет, қажетті нормаланған p-адикалық тізбекке қол жеткізіледі.
Анықтама
П-адық сандардың бірнеше эквивалентті анықтамасы бар. Мұнда келтірілгені салыстырмалы түрде қарапайым, себебі ол алдыңғы бөлімдерде енгізілгендерден басқа математикалық ұғымдарды қамтымайды. Басқа эквивалентті анықтамалар дискретті бағалау сақинасын (қараңыз), метрикалық кеңістікті (қараңыз) толықтыруды немесе кері шектерді (қараңыз) пайдаланады. П-адық сан нормаланған п-адық қатар ретінде анықталуы мүмкін. Басқа, жиі қолданылатын эквивалентті анықтамалар болғандықтан, көбінесе п-адық сан деп айтудың орнына, нормаланған п-адық қатар п-адық санды көрсетеді делінеді. Кез келген п-адық қатар п-адық санды көрсетеді деуге болады, өйткені әрбір п-адық қатар бірегей нормаланған п-адық қатарға эквивалентті. Бұл п-адық сандардың амалдарын (қосу, алу, көбейту, бөлу) анықтау үшін пайдалы: мұндай амалдың нәтижесі сәйкес амалдың нәтижесін қатарлар бойынша нормалау арқылы алынады. Бұл п-адық сандарға амалдарды дұрыс анықтайды, себебі қатарлық амалдар п-адық қатарлардың эквиваленттілігімен үйлесімді. Осы амалдар арқылы п-адық сандар п-адық сандар өрісі деп аталатын өрісті құрайды және немесе деп белгіленеді. Рационалдық сандардан п-адық сандарға бірегей өріс гомоморфизмі бар, ол рационалдық санды оның п-адық кеңейтуіне бейнелейді. Бұл гомоморфизмнің бейнесі көбінесе рационалдық сандар өрісімен теңестіріледі. Бұл п-адық сандарды рационалдық сандардың кеңейтілген өрісі ретінде, ал рационалдық сандарды п-адық сандардың ішкі өрісі ретінде қарастыруға мүмкіндік береді. Нөлден өзгеше п-адық санның x бағасы, әдетте деп белгіленетін, x-ті көрсететін әрбір п-адық қатардың бірінші нөлдік емес мүшесіндегі p дәрежесі болып табылады. Конвенция бойынша, , яғни нөлдің бағасы . Бұл бағалау дискретті бағалау болып табылады. Бұл бағалаудың рационалдық сандарға шектелуі – рационалдық санның жіктелуіндегі v дәрежесінің п-адық бағалауы, яғни n және d екеуі де p-мен өзара жайлы.
Нөмірлік
П-дық кеңейтулерді жазу үшін бірнеше түрлі конвенциялар бар. Осы уақытқа дейін бұл мақалада p-тің дәрежелерін оңнан солға қарай арттыратын п-дық кеңейтулер үшін белгілеу қолданылды. Осы оңнан солға жазу бойынша, мысалы, 3-тік кеңейту былай жазылады:
When performing arithmetic in this notation, digits are carried to the left. It is also possible to write p adic expansions so that the powers of p increase from left to right, and digits are carried to the right. With this left to right notation the 3 adic expansion of is
p adic expansions may be written with other sets of digits instead of {0, 1, , p − 1}. For example, the 3 adic expansion of can be written using balanced ternary digits {1, 0, 1}, with 1 representing negative one, as
In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p adic digits. In number theory, Teichmüller representatives are sometimes used as digits. is a variant of the p adic representation of rational numbers that was proposed in 1979 by Eric Hehner and Nigel Horspool for implementing on computers the (exact) arithmetic with these numbers.
Осы белгілеуде арифметикалық амалдар орындалғанда цифрлар солға жылдырылады. Сондай-ақ, p-дық кеңейтулерді p-тің дәрежелерін солдан оңға қарай арттыру үшін жазуға болады, ал цифрлар оңға жылдырылады. Осы солдан оңға жазу бойынша, 3-тік кеңейту мынадай болады:
When performing arithmetic in this notation, digits are carried to the left. It is also possible to write p adic expansions so that the powers of p increase from left to right, and digits are carried to the right. With this left to right notation the 3 adic expansion of is
p adic expansions may be written with other sets of digits instead of {0, 1, , p − 1}. For example, the 3 adic expansion of can be written using balanced ternary digits {1, 0, 1}, with 1 representing negative one, as
In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p adic digits. In number theory, Teichmüller representatives are sometimes used as digits. is a variant of the p adic representation of rational numbers that was proposed in 1979 by Eric Hehner and Nigel Horspool for implementing on computers the (exact) arithmetic with these numbers.
П-дық кеңейтулер {0, 1, ..., p − 1} цифрлар жиынының орнына басқа цифрлар жиынымен де жазылуы мүмкін. Мысалы, 3-тік кеңейтуді теңгерілген үштік цифрлар {1, 0, 1} арқылы жазуға болады, мұнда 1 теріс бірді білдіреді, себебі p-тің әр түрлі қалдық кластарынан алынған кез келген p бүтін сан жиыны п-дық цифрлар ретінде қолданылуы мүмкін. Сандар теориясында Тейхмюллер өкілдері кейде цифрлар ретінде қолданылады. Бұл 1979 жылы Эрик Хенер мен Найджел Хорспул ұсынған, осы сандармен (нақты) арифметиканы компьютерлерде жүзеге асыруға арналған рационал сандардың п-дық өрнегінің бір түрі.
When performing arithmetic in this notation, digits are carried to the left. It is also possible to write p adic expansions so that the powers of p increase from left to right, and digits are carried to the right. With this left to right notation the 3 adic expansion of is
p adic expansions may be written with other sets of digits instead of {0, 1, , p − 1}. For example, the 3 adic expansion of can be written using balanced ternary digits {1, 0, 1}, with 1 representing negative one, as
In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p adic digits. In number theory, Teichmüller representatives are sometimes used as digits. is a variant of the p adic representation of rational numbers that was proposed in 1979 by Eric Hehner and Nigel Horspool for implementing on computers the (exact) arithmetic with these numbers.
Кардиналдылығы
Екі де, де санауға келмейтін және континуумның кардиналдығына ие. Біріншісі үшін бұл p-адық өрнегінен туындайды, ол -тің қуат жиынындағы биекциясын анықтайды. Екіншісі үшін бұл оның : көшірмелерінің саналатын шексіз біріктірілісі ретінде берілуінен туындайды.
Алгебралық жабылу
0 сипаттамасы бар және осы өрістің өрісі болып табылады. 0-ді квадраттардың қосындысы ретінде жазуға болады, сондықтан оны реттелген өріске айналдыру мүмкін емес. Нақты сандар өрісінің жалғыз ғана алгебралық кеңейтімі бар: кешенді сандар. Басқаша айтқанда, бұл квадраттық кеңейту алгебралық жағынан жабық. Керісінше, алгебралық жабылу , шексіз дәрежеге ие, яғни шексіз көп баламасыз алгебралық кеңейтулерге ие. Нақты сандармен салыстырғанда, p-адық бағалаудың кеңейтімі бірегей болғанымен, ол (метриялық) толық емес. Оның (метриялық) толықтырылуы деп аталады немесе. Мұнда алгебралық жабылуға жетіледі, себебі ол алгебралық жағынан жабық. Бірақ, бұл өріс сияқты жергілікті тығыз емес. Сондықтан біз оны экзотикалық метрикамен жабдықталған ретінде қарастыра аламыз. Мұндай өріс изоморфизмінің бар екендігінің дәлелі таңдау аксиомасына сүйенеді және мұндай изоморфизмнің нақты мысалын бермейді (яғни, ол конструктивті емес). Егер , -нің кез келген шекті Галуа кеңейтімі болса, онда Галуа тобы шешіледі. Осылайша, Галуа тобы про-шешіледі.
Көбейту тобы
n-ші циклотомиялық өрісті (n > 2) тек және тек егер қамтиды. Мысалы, n-ші циклотомиялық өрісі егер және тек егер немесе 12-нің қосалқы өрісі болып табылады. Атап айтқанда, егер p > 2 болса, онда көбейтуші p-торсия болмайды. Сонымен қатар, -1 – бұл жалғыз тривиалды емес бұралу элементі. k – табиғи сан болғанда, -нің нөлдік емес элементтерінің k-шы дәрежелерінің көбейту тобының индексі шекті. Факториалдардың кері шамаларының қосындысы ретінде анықталған [[e (математикалық тұрақты)] саны ешқандай p-адикалық өрістің мүшесі емес; бірақ үшін кем дегенде төртінші дәреже алу қажет. (Осылайша, e сияқты қасиеттері бар сан, атап айтқанда e^(p)-ның p-ші түбірі, барлық p үшін -нің мүшесі болады.)
Given a natural number k, the index of the multiplicative group of the k th powers of the non zero elements of in is finite. The number [[e (mathematical constant), defined as the sum of reciprocals of factorials, is not a member of any p adic field; but for For one must take at least the fourth power. (Thus a number with similar properties as e — namely a p th root of e^(p) — is a member of for all p.)
Жергілікті/жаһандық принцип
Гельмут Хасседің жергілікті-глобалды принципі бір теңдеу үшін оны рационалдық сандарда шеше алса, да, және тек қана нақты сандарда және кез келген жай сан p үшін p-адикалық сандарда шеше алса ғана қолданылады деп есептеледі. Мысалы, бұл принцип квадраттық формалармен берілген теңдеулер үшін орындалады, бірақ көп айнымалысы бар жоғары дәрежелі полиномдар үшін орындалмайды.
Жалпылау және байланысты ұғымдар
Нақты сандар және p-адық сандар рационалдық сандардың толықтырылулары болып табылады; басқа да өрістерді, мысалы, жалпы алгебралық сан өрістерін де ұқсас тәсілмен толықтыруға болады. Бұл туралы енді айтамыз. D-ны Дедекинд домені, ал E-ні оның бөлшектер өрісі деп есептейік. Егер x, E-нің нөлдік емес елеуі болса, онда xD – бөлшектік идеал және оны D-нің нөлдік емес жай идеалдарының оң және теріс дәрежелерінің көбейтіндісі түрінде бірегей түрде жіктеуге болады. Біз P-нің дәрежесін ordP(x) деп белгілейміз, ал c саны 1-ден үлкен кез келген мәнді алса, осы абсолюттік мәнге қатысты толықтыруды анықтай аламыз. C-нің таңдалуы толықтырылуды өзгерте алмайды (әр түрлі таңдаулар Коши тізбегінің бірдей түсінігін береді, сондықтан толықтырылу да бірдей болады). Егер қалдық өріс D/P шекті болса, c-ні D/P-нің өлшемі ретінде алу ыңғайлы. Мысалы, E сан өрісі болғанда, Островский теоремасы E-дегі тривиалды емес, Архимед емес абсолюттік мәндердің барлығы қандай да бір |⋅|P түрінде келеді дейді. E-дегі қалған тривиалды емес абсолюттік мәндер E-нің нақты немесе кешенді сандарға енгізілуінен туындайды. (Шындығында, Архимед емес абсолюттік мәндерді E-нің Cp өрістеріне енгізілуі ретінде қарастыруға болады, осылайша сан өрісінің барлық тривиалды емес абсолюттік мәндерін сипаттауды ортақ негізге келтіруге болады.) Көбінесе, E сан өрісі (немесе жалпы жаһандық өріс) болғанда, жоғарыда аталған барлық толықтыруларды бір уақытта қадағалау қажет, олар «жергілікті» ақпаратты кодтау ретінде қарастырылады. Бұл Адель сақиналары және идел топтары арқылы жүзеге асырылады. p-адық бүтін сандар p-адық соленоидтарға дейін кеңейтілуі мүмкін. -дан шеңбер тобына бейнелеу бар, оның талшықтары p-адық бүтін сандар болып табылады, бұл -дан шеңберге бейнелеуге ұқсас, оның талшықтары болып табылады.
Completing with respect to this absolute value |⋅|P yields a field EP, the proper generalization of the field of p adic numbers to this setting. The choice of c does not change the completion (different choices yield the same concept of Cauchy sequence, so the same completion). It is convenient, when the residue field D/P is finite, to take for c the size of D/P. For example, when E is a number field, Ostrowski's theorem says that every non trivial non Archimedean absolute value on E arises as some |⋅|P. The remaining non trivial absolute values on E arise from the different embeddings of E into the real or complex numbers. (In fact, the non Archimedean absolute values can be considered as simply the different embeddings of E into the fields Cp, thus putting the description of all
the non trivial absolute values of a number field on a common footing.) Often, one needs to simultaneously keep track of all the above mentioned completions when E is a number field (or more generally a global field), which are seen as encoding "local" information. This is accomplished by adele rings and idele groups. p adic integers can be extended to p adic solenoids There is a map from to the circle group whose fibers are the p adic integers , in analogy to how there is a map from to the circle whose fibers are .