Кіріспе
Формалды логикадағы ұғым. Формалды логикада, бірінші реттік логикамен сипатталмау – бұл табиғи тілдегі мәлімдеменің бірінші реттік логика формуласымен толыққанды бейнеленуіне қабілетсіздік. Нақтырақ айтқанда, егер бір модельде мәлімдеме орындалса және сол модельде оған сәйкес келетін бірінші реттік логика формуласы болмаса, онда бұл мәлімдеме бірінші реттік логикамен сипатталмайды. Бірінші реттік логикамен сипатталмайтын мәлімдемелер кейде бірінші реттік логиканың табиғи тілдегі мағынаның күрделіліктерін түсіруге жеткіліксіздігін көрсететін дәлел ретінде ұсынылады. Бұл термин Джордж Булос өзінің «Болу – бұл айнымалының мәні (немесе кейбір айнымалылардың кейбір мәндері)» атты мақаласында енгізген. Куин болса, мұндай мәлімдемелер екінші реттік символизацияны қажет етеді деп санайды, оны бірінші реттік кванторлар қолданатын домендегі көптік сандық белгілеу ретінде түсіндіруге болады, сонымен қатар жеке «екінші реттік объектілер» (қасиеттер, жиындар және т.б.) енгізудің қажеті жоқ.
In formal logic, nonfirstorderizability is the inability of a natural language statement to be adequately captured by a formula of first order logic. Specifically, a statement is nonfirstorderizable if there is no formula of first order logic which is true in a model if and only if the statement holds in that model. Nonfirstorderizable statements are sometimes presented as evidence that first order logic is not adequate to capture the nuances of meaning in natural language. The term was coined by George Boolos in his paper "To Be is to Be a Value of a Variable (or to Be Some Values of Some Variables)". Quine argued that such sentences call for second order symbolization, which can be interpreted as plural quantification over the same domain as first order quantifiers use, without postulation of distinct "second order objects" (properties, sets, etc. ).
Доменнің шектілігі
Бірінші реттік логикада теңдікпен үйлесетін, барлық және тек шекті домендерде ғана дұрыс болатын А формуласы жоқ. Басқаша айтқанда, "заттардың саны шекті" дегенді білдіретін бірінші реттік формула жоқ. Бұл, түйіспелілік теоремасы арқылы келесідей түсіндіріледі. Шекті домендерде ғана дұрыс болатын А формуласы бар деп есептейік. Кез келген оң бүтін n үшін "доменде кем дегенде n элемент бар" деген сөйлемді білдіре аламыз. Белгілі бір n үшін, доменде кем дегенде n элемент бар екенін білдіретін формуланы Bn деп атайық. Мысалы, B3 формуласы:
доменде кем дегенде үш түрлі элемент бар екенін білдіреді. Келесі шексіз формулалар жиынын қарастырайық:
Бұл формулалардың кез келген шекті ішкі жиынына модель табылады: берілген ішкі жиын үшін, сол ішкі жиында Bn формуласы бар ең үлкен n-ді табыңыз. Содан кейін, құрамында n элементі бар доменге ие модель, A (өйткені домені шекті) және ішкі жиынның барлық B формулаларын қанағаттандырады. Түйіспелілік теоремасын қолданғанда, бүкіл шексіз жиынның да моделі болуы керек. А туралы болжамымызға сәйкес, модель шекті болуы керек. Дегенмен, бұл модель шекті бола алмайды, себебі егер модельде тек m элемент болса, ол Bm+1 формуласын қанағаттандырмайды. Бұл қайшылық, біз қабылдаған қасиетке ие A формуласының болуы мүмкін емес екенін көрсетеді.
Басқа мысалдар
Жекелік ұғымын бірінші реттік тілдерде анықтау мүмкін емес, тек теңбелгілікпен ғана сипаттауға болады. Архимед қасиеті нақты жабық өрістердің арасында нақты сандарды анықтауға қолданылуы мүмкін. Компакттылық теоремасы графтың байланыстылығын бірінші реттік логика арқылы өрнектеуге болмайтынын көрсетеді.