Кіріспе
Логиканың саласы
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
Пропозициялық есептеу – логиканың бір саласы. Ол сондай-ақ сөйлемдік логика, мәлімдеме логикасы, логикалық логика деп те аталады. Ол сөйлемдер мен сөйлемдер арасындағы қатынастарды, соның ішінде оларға негізделген дәлелдерді құруды қарастырады. Күрделі сөйлемдер сөйлемдерді логикалық байланыстар арқылы қосу арқылы құралады, олар конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция және жорамалдың шындық функцияларын көрсетеді. Кейбір көздер төмендегі кестеде көрсетілгендей, басқа байланыстарды да қамтиды. Бірінші реттік логикадан айырмашылығы, пропозициялық логика логикалық емес объектілермен, олар туралы предикаттармен немесе кванторлармен айналыспайды. Дегенмен, пропозициялық логиканың барлық құралдары бірінші реттік логика мен жоғары реттік логикалардың құрамына кіреді. Осы тұрғыдан алғанда, пропозициялық логика – бірінші реттік логика мен жоғары реттік логиканың негізі болып табылады. Пропозициялық логика әдетте формальды тілмен зерттеледі, онда сөйлемдер әріптермен бейнеленеді, олар пропозициялық айнымалылар деп аталады. Содан кейін олар байланыстардың белгілерімен бірге күрделі сөйлемдер жасау үшін қолданылады. Осы себепті, пропозициялық айнымалылар формальды нөлдік реттік тілдің атомдық формулалары деп аталады.
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
| Бәйленіс | Символ |
|---|---|
| Және | , , , , |
| Эквивалентті | ↔ , ≡ , |
| Импликация | → , ⊃ , |
| NAND | ↑ , ⊈ , |
| Тең емес | ⊭ , ¬↔ , |
| NOR | ↓ , ⊅ , |
| Жоқ | ¬ , ~ , |
| Немесе | ∨ , + , |
| XNOR | ≡ , |
| XOR | ⊕ , |
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
Пропозициялық логиканың ең жан-жақты зерттелген саласы – классикалық шындық функционалды пропозициялық логика. Бұл жерде биваленттілік принципі мен шығарылған орта заңы қолданылады. Бірінші реттік логикамен салыстырғанда, шындық функционалды пропозициялық логика нөлдік реттік логика деп есептеледі және оның ізбасарлары – стоиктер тарапынан кеңейтілді. Бұл логика сөйлемдерге бағытталған. Бұл дәстүрлі силлогистикалық логикадан өзгеше, ол терминдерге бағытталған. Алайда, түпнұсқа жазбалардың көп бөлігі жоғалып кетті және біздің заманымыздың 3-6 ғасырлары арасында стоик логикасы ұмытылып, тек 20 ғасырда ғана пропозициялық логиканың (қайта) ашылуынан кейін қайта жанданды. Пропозициялық логиканы жетілдіру үшін маңызды болған символдық логика алғаш рет 17-18 ғасырлардағы математик Готфрид Лейбництің еңбектерінде дамыды, оның *calculus ratiocinator* логикалық қауымдастыққа белгісіз болды. Осының салдарынан Лейбництің көптеген жетістіктері Джордж Буль және Август Де Морган сияқты логиктер тарапынан Лейбництен тәуелсіз қайта жасалды. Готтлоб Фрегенің предикаттық логикасы пропозициялық логикаға негізделген және «силлогистикалық логика мен пропозициялық логиканың ерекшеліктерін» біріктіретін логика ретінде сипатталған. Осының нәтижесінде предикаттық логика логика тарихында жаңа дәуірді ашты; алайда, Фрегеден кейін де пропозициялық логикада табиғи дедукция, шындық ағаштары және шындық кестелері сияқты жетістіктерге қол жеткізілді. Табиғи дедукция Герхард Гентцен мен Станислав Яшковский тарапынан ойлап табылды. Шындық ағаштарын Эверт Виллем Бет ойлап тапқан. Шындық кестелерін кім ойлап тапқандығы туралы нақты мәлімет жоқ. Фреге мен Бертран Расселдің еңбектерінде шындық кестелерін ойлап табуға ықпал еткен идеялар бар. Нақты кестелік құрылым (кесте түрінде пішімделген) Людвиг Витгенштейн немесе Эмиль Постқа (немесе екеуіне де тәуелсіз) немесе Эрнст Шрёдерге жатқызылады. Таблицалық құрылымды ойлап тапқандардың қатарында Ян Лукасевич, Альфред Норт Уайтхед, Уильям Стэнли Джевонс, Джон Венн және Кларенс Ирвинг Льюис бар. Мұндай декларативті емес сөйлемдердің шындық мәні жоқ және олар тек эротикалық және императивтік логика деп аталатын классикалық емес логикада қарастырылады.
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
Байланысты сөйлемдерді құрастыру
Ұйғарымдық логикада, мәлімдеме басқа бір немесе бірнеше мәлімдемелерді құрамдас бөліктер ретінде қамтуы мүмкін. Бұл логикалық байланыстырушылар арқылы жүзеге асырылады: негізгі құрама сөйлемдердің түрлері – жоққа шығару, қосымша, дизъюнкция, импликация және эквиваленция. Ағылшын тілінде бұл байланыстырушылар "and" (қосымша), "or" (дизъюнкция), "not" (жоққа шығару), "if" (импликация), және "if and only if" (эквиваленция) сөздерімен беріледі. Осылайша, классикалық логикада, аргумент жарамды, бірақ оның дұрыстығы нақты контексттегі метеорологиялық фактілерге байланысты болуы немесе болмауы мүмкін. Бұл мысал аргумент түсіндірген кезде қайта пайдаланылады.
Дұрыс және сенімділік
Аргумент егер және тек қана оның барлық алғышарттары дұрыс болса, оның қорытындысы да дұрыс болуы қажет болса ғана жарамды. Басқаша айтқанда, аргумент жарамды, егер және тек қана барлық алғышарттардың дұрыс болуы мүмкін болмаса, ал қорытынды жалған болса. Алғышарттар қорытынды сызығы деп аталатын сызықтың үстінде көрсетіледі, ал қорытынды осы сызықтың астында жазылады. Бұл ⊢ символымен белгіленеді. Бұл ⊧ символымен белгіленеді. Кейбіреулер орын сақтағыштарды, бастапқы формулаларды пайдаланады, ал басқалары оларды түсіндірмей қолданады. Тілдің синтаксисінің анықтамасындағы осы рекурсия "атомдық" сөзін сөйлемдік айнымалыларға сілтеме жасау үшін қолдануды негіздейді, себебі тілдегі барлық формулалар атомдардан соңғы құрылыс блоктары ретінде құрастырылады. Бұл философияға қарағанда компьютерлік ғылымда көбірек кездеседі. Өзіне-өзі сілтеме жасайтын қасиетіне байланысты (өйткені анықтамасының кейбір тармақтарында кездеседі), бұл сөйлем рекурсивті анықтама ретінде де әрекет етеді және демек, бүкіл тілді анықтайды. Оны модальдық операторларды қосу үшін кеңейту үшін, жай ғана баптың соңына қосу керек. Ал сөйлемдік айнымалылар барлық атомдық ұсыныстар жиынында өзгереді. Басқа авторлар да осы символдарды сол мағынада қолданады, бірақ оларды "нөл орынды шындық функциялары" деп қарастырады. Мысалы, "Википедия – кез келген адам өңдей алатын тегін онлайн энциклопедиясы" – дұрыс деп бағаланады, ал "Википедия – қағаз энциклопедиясы" – жалған деп бағаланады. Басқа жағынан, келесі формальды семантика кез келген сөйлемдік логика тіліне қолданылуы мүмкін, бірақ тек екі семантикалық мән (екімәнділік) бар деген болжам, тілдегі әрбір формулаға олардың біреуі ғана тағайындалады (қарама-қайшылықсыздық) және әрбір формулаға мән беріледі (орталық жоққа шығарылуы) – классикалық логиканың ерекше белгілері болып табылады. Немесе жағдай бойынша, классикалық логиканың формальды тілінің интерпретациясы көбінесе шындық кестелері арқылы беріледі. Конъюнкция және дизъюнкция терістеу және конъюнкция арқылы анықталуы мүмкін, мысалы ¬(¬p ∧ ¬q). Немесе жай ғана жеткілікті. Эквиваленттілікті шарттылықтан ажырату керек. (Эквиваленттілікке қатысты, Хаусон оны "ақиқаттық-функционалды теңдестік" деп атайды, ал Каннингем оны "логикалық теңдестік" деп атайды.) Эквиваленттілік ⇔ символымен белгіленеді және металл тілінің символы болып табылады, ал шарттылық ↔ символымен белгіленеді және объекті тіліндегі логикалық байланыстырушы болып табылады. Дегенмен, эквиваленттілік немесе шарттылық, егер және тек қана олармен байланысқан формулалар кез келген интерпретацияда бірдей семантикалық мәнге ие болса, дұрыс болады. Басқа авторлар көбінесе бұл айырмашылықты жасамаиды және олардың объекті тіліндегі шарттылық байланыстырушыны білдіру үшін "эквиваленттілік" сөзін қолдануы мүмкін.
Семантикалық дәлелдеу жүйелері
Семантикалық дәлелдеу жүйелері семантикалық салдар тұжырымына сүйенеді, ол символмен белгіленеді, егер шын болса, онда барлық мүмкін интерпретацияларда да шын болуы керек. Шындық кестесі құрамындағы атомдардың шындық мәндерін толық тізімдеу арқылы, берілген өрнектің шын, жалған, тавтологиялық немесе қайшылықты екенін көрсетуге мүмкіндік береді. Қараңыз.
Семантикалық кестелер
Семантикалық табель – бұл ұйғарымның растығын жүйелі түрде зерттейтін тағы бір семантикалық дәлелдеу әдісі. Ол қатысты ұйғарымдардың мүмкін болатын интерпретациясын көрсететін ағаш құрастырады, мұнда әрбір тармақ – бұл интерпретацияның бір жолы. Егер барлық тармақтар қайшылыққа алып келсе, бастапқы ұйғарым қайшылық деп есептеледі, ал оның жоқтығы – тавтология деп есептеледі. Қараңыз.
Синтаксистік дәлелдеу жүйелері
Синтаксистік дәлелдеу жүйелері, керісінше, белгілі бір ережелерге сәйкес символдарды формалды түрлендіруге назар аударады. Синтаксистік салдар түсінігі, , формальды жүйенің ережелерін қолдану арқылы алынуы мүмкін екенін көрсетеді. Ұйғарымдық логикада аксиоматикалық жүйелер өзінен-өзі анық деп есептелетін ұйғарымдардың бастапқы жиынтығын анықтайды, ал теоремалар осы аксиомаларға дедукция ережелерін қолдану арқылы дәлелденеді. Қараңыз .
Табиғи шегерім
Табиғи дедукция – бұл интуитивті ережелерді қолдану арқылы алғышарттардан қорытындыларды шығаруға баса назар аударатын, дәлелдеудің синтаксистік әдісі. Бұл ережелер қалыпты ойлауды бейнелейді. Әрбір ереже нақты бір логикалық байланысты көрсетеді және оны қалай қолдануға немесе жоюға болатынын анықтайды. Герхард Гентцен жасаған бұл тәсіл логикалық дәлелдемелердің құрылымдық ерекшеліктеріне назар аударады және мәлімдемелерді есімдік логика шеңберінде дәлелдеу үшін тиімді құрал ұсынады.