Нонкоммутативтік логика: сызықтық логиканың кеңейтілген түрі, Ламбек есебі, реттік есептеулер, модульдер мен Хопф алгебралары. Логика туралы толық ақпарат!
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Коммутативті емес логика — сызықтық логиканың кеңейтілген түрі, ол сызықтық логиканың коммутативті байланыстарын Ламбек калькулының коммутативті емес көбейту байланыстарымен үйлестіреді. Оның тізбектелген есебі реттік сорттардың құрылымына (құрылымның бір түрі ретінде қарастырылатын циклдық реттер жиыны) сүйенеді, ал оның дәлелдеу желілерінің дұрыстығын бағалау шарты ішінара ауыстырулар арқылы анықталады. Бұған қоса, ол формулалардың белгілі бір Хопф алгебралары арқылы модульдермен түсіндірілетін денотациялық семантикасына ие.
Noncommutative logic is an extension of linear logic that combines the commutative connectives of linear logic with the noncommutative multiplicative connectives of the Lambek calculus. Its sequent calculus relies on the structure of order varieties (a family of cyclic orders that may be viewed as a species of structure), and the correctness criterion for its proof nets is given in terms of partial permutations. It also has a denotational semantics in which formulas are interpreted by modules over some specific Hopf algebras.
Логикадағы коммутативтілік емес
Кеңейту арқылы, коммутативті емес логика термині бірнеше авторлармен алмасу қағидасы қолданылмайтын субструктуралық логикалар тобына сілтеме жасау үшін де қолданылады. Осы мақаланың қалған бөлігі осы терминнің қабылдануын ұсынуға арналған. Ең көне коммутативті емес логика – Ламбек есебі, ол категориялық грамматикалар деп аталатын логика класын тудырды. Жан-Ив Жирардың сызықтық логикасын жариялағаннан бері бірнеше жаңа коммутативті емес логикалар ұсынылды, атап айтқанда, Дэвид Йеттердің циклдық сызықтық логикасы, Кристиан Реторедің помсет логикасы және BV мен NEL коммутативті емес логикалары. Коммутативті емес логика кейде реттелген логика деп те аталады, себебі көптеген ұсынылған коммутативті емес логикалар бойынша формулаларға толық немесе ішінара рет орнатуға болады. Дегенмен, бұл толығымен жалпылама емес, өйткені кейбір коммутативті емес логикалар мұндай ретті қолдамайды, мысалы, Йеттердің циклдық сызықтық логикасы. Көптеген коммутативті емес логикалар коммутативтілікпен қатар әлсіретуге немесе жиырылуға рұқсат бермейді, бірақ бұл шектеу міндетті емес.
By extension, the term noncommutative logic is also used by a number of authors to refer to a family of substructural logics in which the exchange rule is inadmissible. The remainder of this article is devoted to a presentation of this acceptance of the term. The oldest noncommutative logic is the Lambek calculus, which gave rise to the class of logics known as categorial grammars. Since the publication of Jean Yves Girard's linear logic there have been several new noncommutative logics proposed, namely the cyclic linear logic of David Yetter, the pomset logic of Christian Retoré, and the noncommutative logics BV and NEL. Noncommutative logic is sometimes called ordered logic, since it is possible with most proposed noncommutative logics to impose a total or partial order on the formulas in sequents. However this is not fully general since some noncommutative logics do not support such an order, such as Yetter's cyclic linear logic. Although most noncommutative logics do not allow weakening or contraction together with noncommutativity, this restriction is not necessary.
Ламбектің есептеуі
Жоахим Ламбек 1958 жылғы "Сөйлем құрылымының математикасы" атты мақаласында табиғи тілдердің синтаксисінің комбинаторлық мүмкіндіктерін модельдеу үшін алғашқы коммутативті емес логиканы ұсынды. Оның есебі осылайша есептеу лингвистикасының негізгі формализмдерінің біріне айналды.
Joachim Lambek proposed the first noncommutative logic in his 1958 paper Mathematics of Sentence Structure to model the combinatory possibilities of the syntax of natural languages. His calculus has thus become one of the fundamental formalisms of computational linguistics.
Циклдік сызықтық логика
Дэвид Н. Еттер сызықтық логиканың алмасу ережесі орнына нашаррақ құрылымдық ережені ұсынды, нәтижесінде циклдік сызықтық логика пайда болды. Циклдік сызықтық логиканың тізбектері цикл құрайды, сондықтан олар бұрылу кезінде өзгермейді, ал көпшартты ережелер циклдерін ережелерде сипатталған формулалар арқылы біріктіреді. Есептеу үш құрылымдық модальды қолдайды: өз-өзіне жуп модаль алмасуға рұқсат береді, бірақ сызықтық болып қалады, сондай-ақ сызықтық логиканың әдеттегі экспоненциалдары (? және !) сызықтық емес құрылымдық ережелерді алмасумен бірге қолдануға мүмкіндік береді.
David N. Yetter proposed a weaker structural rule in place of the exchange rule of linear logic, yielding cyclic linear logic. Sequents of cyclic linear logic form a cycle, and so are invariant under rotation, where multipremise rules glue their cycles together at the formulas described in the rules. The calculus supports three structural modalities, a self dual modality allowing exchange, but still linear, and the usual exponentials (? and !) of linear logic, allowing nonlinear structural rules to be used together with exchange.
Pomset логикасы
Помсет логикасын Кристиан Реторе семантикалық формализмде, сызықтық логиканың әдеттегі тензорлық көбейтіндісі және пар операторларымен қатар екі дуалды тізбекті оператормен ұсынды. Бұл коммутативті және коммутативті емес операторлардың екеуін де қамтитын алғашқы логика болды. Осы логика үшін ретті калькуль құрастырылды, бірақ оған кесуді жою теоремасы болған жоқ; калькульдің дұрыстығы денотациялық семантика арқылы дәлелденді.
Pomset logic was proposed by Christian Retoré in a semantic formalism with two dual sequential operators existing together with the usual tensor product and par operators of linear logic, the first logic proposed to have both commutative and noncommutative operators. A sequent calculus for the logic was given, but it lacked a cut elimination theorem; instead the sense of the calculus was established through a denotational semantics.
BV және NEL
Алессио Гуглиельми Реторе калькулының BV нұсқасын ұсынды, онда екі коммутативті емес операция бір, өзіне-өзі дуал операторға біріктірілді, сондай-ақ калькулды қолдану үшін құрылымдар калькулы деп аталатын жаңа дәлелдеу калькулын ұсынды. Құрылымдар калькулының ерекше жаңалығы – терең қорытындының кеңінен қолданылуы болды, мұндай қорытынды коммутативті және коммутативті емес операторларды біріктіретін калькульдер үшін қажет деп саналды; бұл түсіндірме помсет логикасы үшін кесілуді жою мүмкіндігі бар реттік жүйелерді құрудың қиындығымен сәйкес келеді. Лютц Страсбургер де құрылымдар калькулы аясында NEL деп аталатын ұқсас жүйені жасады, онда қоспа ережесі бар сызықтық логика кіші жүйе ретінде көрінеді.
Alessio Guglielmi proposed a variation of Retoré's calculus, BV, in which the two noncommutative operations are collapsed onto a single, self dual, operator, and proposed a novel proof calculus, the calculus of structures to accommodate the calculus. The principal novelty of the calculus of structures was its pervasive use of deep inference, which it was argued is necessary for calculi combining commutative and noncommutative operators; this explanation concurs with the difficulty of designing sequent systems for pomset logic that have cut elimination. Lutz Straßburger devised a related system, NEL, also in the calculus of structures in which linear logic with the mix rule appears as a subsystem.
Құрылымдар
Структадалар – логика семантикасына қатысты Жоялдың комбинаторлық түрлерінің үлгісімен есептеу ұғымын жалпылауға негізделген тәсіл. Бұл, жоғарыда сипатталғандардан өзгеше, мысалы, есептеу логикасының ‘,’ белгісі ассоциативті емес болғанда да, күрделі стандартты емес логикаларды қарастыруға мүмкіндік береді.
Structads are an approach to the semantics of logic that are based upon generalising the notion of sequent along the lines of Joyal's combinatorial species, allowing the treatment of more drastically nonstandard logics than those described above, where, for example, the ',' of the sequent calculus is not associative.