Кіріспе
Берілген жағдайларда оңтайлы пішін табу мәселесі – оңтайлы басқару теориясы саласының бір бөлігі. Типик мәселе – белгілі бір шектеулерді сақтай отырып, белгілі бір шығын функциясын азайтатын оңтайлы пішін табу болып табылады. Көп жағдайларда, шешіліп жатқан функция айнымалы доменде анықталған берілген дербес дифференциалдық теңдеудің шешіміне байланысты болады. Топологиялық оңтайландыру доменге тиесілі байланысқан компоненттердің/шекаралардың санымен де айналысады. Мұндай әдістер қажет, себебі пішін оңтайландыру әдістері әдетте белгілі топологиялық қасиеттері бар, рұқсат етілген пішіндердің ішкі жиынында жұмыс істейді, мысалы, олардағы тесіктердің саны белгілі. Топологиялық оңтайландыру техникалары таза пішін оңтайландырудың шектеулерін айналып өтуге көмектеседі.
Shape optimization is part of the field of optimal control theory. The typical problem is to find the shape which is optimal in that it minimizes a certain cost functional while satisfying given constraints. In many cases, the functional being solved depends on the solution of a given partial differential equation defined on the variable domain. Topology optimization is, in addition, concerned with the number of connected components/boundaries belonging to the domain. Such methods are needed since typically shape optimization methods work in a subset of allowable shapes which have fixed topological properties, such as having a fixed number of holes in them. Topological optimization techniques can then help work around the limitations of pure shape optimization.
Техникалар
Пішінді оңтайландыру мәселелері көбінесе итеративтік әдістерді қолдану арқылы сандық түрде шешіледі. Яғни, бастапқы пішін туралы болжаммен бастап, оны оңтайлы пішінге жеткенше бірте-бірте өзгертеді.
until it morphs into the optimal shape.
Қалыпты бақылау
Пішінді оңтайландыру мәселесін шешу үшін компьютер жадында пішінді бейнелеудің жолын табу және оның эволюциясын қадағалау қажет. Әдетте бірнеше тәсіл қолданылады. Бір тәсіл – пішіндің шекарасын қадағалау. Ол үшін пішін шекарасын салыстырмалы түрде тығыз және біркелкі үлгілеуге болады, яғни пішіндің жеткілікті дәл контурын алу үшін жеткілікті нүктелерді қарастыру қажет. Содан кейін шекаралық нүктелерді бірте-бірте жылжыту арқылы пішінді өзгертуге болады. Бұл Лагранж әдісі деп аталады. Тағы бір тәсіл – пішіннің айналасындағы тікбұрышты қорапта анықталған функцияны қарастыру, ол пішіннің ішінде оң, пішін шекарасында нөл, ал пішіннің сыртында теріс болады. Содан кейін пішіннің орнына осы функцияны өзгертуге болады. Қорапта тіктөртбұрышты торды қарастырып, тор нүктелерінде функцияның мәнін үлгілеуге болады. Пішін өзгерген сайын тор нүктелері өзгермейді, тек тор нүктелеріндегі функция мәндері ғана өзгереді. Тұрақты торды пайдалану әдісі Эйлер әдісі деп аталады. Пішінді бейнелеу үшін функцияны қолдану идеясы деңгейлік жиынтық әдісінің негізінде жатыр. Үшінші тәсіл – пішіннің эволюциясын ағын мәселесі ретінде қарастыру. Яғни, пішін пластикалық материалдан жасалған деп елестетуге болады, ол бірте-бірте деформацияланып, пішіннің ішіндегі немесе шекарасындағы кез келген нүкте бастапқы пішіннің нүктесіне бір-бірге сәйкес келетін түрде қайтарылады. Математикалық тұрғыдан алғанда, егер бастапқы пішін болса, ал t уақытындағы пішін болса, диффеоморфизмдерді қарастырады.
sample the shape boundary in a relatively dense and uniform manner, that is, to consider enough points to get a sufficiently accurate outline of the shape. Then, one can evolve the shape by gradually moving the boundary points. This is called the Lagrangian approach. Another approach is to consider a function defined on a rectangular box around the shape, which is positive inside of the shape, zero on the boundary of the shape, and negative outside of the shape. One can then evolve this function instead of the shape itself. One can consider a rectangular grid on the box and sample the function at the grid points. As the shape evolves, the grid points do not change; only the function values at the grid points change. This approach, of using a fixed grid, is called the Eulerian approach. The idea of using a function to represent the shape is at the basis of the level set method. A third approach is to think of the shape evolution as of a flow problem. That is, one can imagine that the shape is made of a plastic material gradually deforming such that any point inside or on the boundary of the shape can be always traced back to a point of the original shape in a one to one fashion. Mathematically, if is the initial shape, and is the shape at time t, one considers the diffeomorphisms
Тағы да айта кетейік, пішіндермен тікелей жұмыс істеу қиын, сондықтан оларды функция арқылы өзгерту оңай.
Геометриялық параметрлеу
Егер геометрияның параметрленуі анықталса, пішінді оңтайландыру стандартты оңтайландыру әдістерін қолдану арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Мұндай параметрлеу CAE саласында өте маңызды, себебі мақсатты функциялар көбінесе сандық модельдерді (CFD, FEA және т.б.) пайдалана отырып есептелетін күрделі функциялар болып табылады. Көптеген мәселелер үшін қолайлы тәсіл – CAD моделін параметрлеу және функцияны бағалау үшін қажетті барлық процестерді толық автоматтандыру (тор жасау, шешу және нәтижелерді өңдеу). Желілік морфинг күрделі мәселелер үшін тиімді таңдау болып табылады, ол есептелген мақсаттық және шектеу функцияларындағы үзілістер сияқты қайта тор жасаумен байланысты туындайтын мәселелерді шешеді. Бұл жағдайда параметрлеу тор жасау кезеңінен кейін анықталады және есептеуге қолданылатын сандық модельге тікелей әсер етеді, ол желілік жаңарту әдістері арқылы өзгертіледі. Желілік морфинг үшін бірнеше алгоритмдер бар (деформацияланатын көлемдер, псевдоқатты денелер, радиалды негіз функциялары). Параметриялық тәсілді таңдау негізінен мәселенің масштабына байланысты: CAD тәсілі кішкентай және орташа өлшемді модельдер үшін артықшылықты, ал желілік морфинг тәсілі үлкен және өте үлкен модельдер үшін ең жақсы (кейде жалғыз мүмкін) шешім болып табылады. Пішінді оңтайландыру үшін көп мақсатты Парето оңтайландыруы (NSGA II) қуатты тәсіл ретінде қолданылуы мүмкін. Осыған байланысты, Парето оңтайландыру тәсілі жобалау әдісінде пайдалы артықшылықтарды көрсетеді, мысалы, басқа көп мақсатты оңтайландыруларда көрсетілмейтін аудан шектеуінің әсері. Жазалау функциясын қолдану әдісі – оңтайландырудың алғашқы кезеңінде қолданылуы мүмкін тиімді техника. Бұл әдісте шектелген пішін дизайны мәселесі шектеулерді мақсатты функцияда жазалау факторы ретінде пайдалана отырып, шектелмеген мәселеге бейімделеді. Көбінесе жазалау факторы шектеу санына қарағанда шектеудің өзгеру мөлшеріне байланысты болады. Аталған оңтайландыру мәселесінде GA нақты кодталған техникасы қолданылады. Сондықтан есептеулер айнымалылардың нақты мәндеріне негізделген.