Введение

Проблема нахождения оптимальной формы при заданных условиях

Оптимизация формы является частью области теории оптимального управления. Типичная задача заключается в поиске формы, которая оптимальна с точки зрения минимизации определенного функционала при соблюдении заданных ограничений. Во многих случаях функционал, который требуется решить, зависит от решения заданного частного дифференциального уравнения, определенного на переменной области. Оптимизация топологии, в дополнение к этому, рассматривает количество связных компонент/границ, принадлежащих области. Такие методы необходимы, поскольку методы оптимизации формы обычно работают с подмножеством допустимых форм, обладающих фиксированными топологическими свойствами, например, фиксированным числом отверстий. Методы топологической оптимизации позволяют обойти ограничения, присущие чистой оптимизации формы.

Техника

Проблемы оптимизации формы обычно решаются численно с использованием итеративных методов. То есть, начинают с начального приближения формы и затем постепенно изменяют её, пока она не примет оптимальную форму.

Отслеживание формы

Чтобы решить задачу оптимизации формы, необходимо найти способ представления формы в памяти компьютера и отслеживать её эволюцию. Обычно используется несколько подходов. Один из подходов – отслеживание границы формы. Для этого можно дискретизировать границу формы достаточно плотно и равномерно, то есть рассмотреть достаточное количество точек для получения достаточно точного контура формы. Затем можно изменять форму, постепенно перемещая точки границы. Этот подход называется лагранжевым. Другой подход заключается в рассмотрении функции, определенной на прямоугольной области вокруг формы, которая положительна внутри формы, равна нулю на границе формы и отрицательна вне формы. Можно изменять эту функцию вместо самой формы. Можно рассмотреть прямоугольную сетку на этой области и вычислять значения функции в узлах сетки. По мере эволюции формы узлы сетки не меняются, изменяются только значения функции в этих узлах. Этот подход, использующий фиксированную сетку, называется эйлеровым. Идея использования функции для представления формы лежит в основе метода уровня. Третий подход – рассматривать эволюцию формы как задачу о течении. То есть можно представить, что форма состоит из пластичного материала, который постепенно деформируется таким образом, что любую точку внутри или на границе формы можно однозначно связать с точкой исходной формы. Математически, если – исходная форма, а – форма в момент времени t, то рассматриваются диффеоморфизмы.

Идея заключается в том, что формы – сложные объекты, с которыми трудно работать напрямую, поэтому манипулируют ими посредством функции.

Параметризация геометрии

Оптимизация формы может быть выполнена с использованием стандартных методов оптимизации при условии определения параметризации геометрии. Такая параметризация особенно важна в области CAE, где целевые функции обычно представляют собой сложные функции, вычисляемые с помощью численных моделей (CFD, FEA и т.д.). Удобный подход, подходящий для широкого класса задач, заключается в параметризации CAD-модели в сочетании с полной автоматизацией всего процесса, необходимого для вычисления целевой функции (создание сетки, решение и обработка результатов). Морфинг сетки является эффективным выбором для сложных задач, позволяющим решить типичные проблемы, связанные с перестроением сетки, такие как разрывы в вычисляемых целевых функциях и функциях ограничений. В этом случае параметризация определяется после этапа создания сетки и действует непосредственно на численную модель, используемую для расчетов, которая изменяется с помощью методов обновления сетки. Существует несколько алгоритмов для морфинга сетки (деформирующие объемы, псевдотвердые тела, радиальные базисные функции). Выбор подхода к параметризации в основном зависит от размера задачи: подход, основанный на CAD, предпочтителен для моделей малого и среднего размера, в то время как подход морфинга сетки является наилучшим (и иногда единственно возможным) для больших и очень больших моделей. Многокритериальная Парето-оптимизация (NSGA II) может быть использована как мощный инструмент для оптимизации формы. В этом отношении подход Парето-оптимизации демонстрирует полезные преимущества в методах проектирования, такие как учет ограничения по площади, которое другие многокритериальные методы оптимизации не могут явно определить. Использование штрафной функции является эффективной техникой, которую можно применить на начальном этапе оптимизации. В этом методе задача оптимизации формы с ограничениями преобразуется в задачу без ограничений путем включения ограничений в целевую функцию в качестве штрафного множителя. В большинстве случаев штрафной множитель зависит от величины изменения ограничения, а не от его количества. В рассматриваемой задаче оптимизации применяется генетический алгоритм с вещественным кодированием (GA). Следовательно, вычисления основаны на действительных значениях переменных.