Кіріспе
Комбинаторлық оңтайландыру мәселесі
The quadratic assignment problem (QAP) is one of the fundamental combinatorial optimization problems in the branch of optimization or operations research in mathematics, from the category of the facilities location problems first introduced by Koopmans and Beckmann. The problem models the following real life problem:
There are a set of n facilities and a set of n locations. For each pair of locations, a distance is specified and for each pair of facilities a weight or flow is specified (e. g., the amount of supplies transported between the two facilities). The problem is to assign all facilities to different locations with the goal of minimizing the sum of the distances multiplied by the corresponding flows. Intuitively, the cost function encourages facilities with high flows between each other to be placed close together. The problem statement resembles that of the assignment problem, except that the cost function is expressed in terms of quadratic inequalities, hence the name.
Квадраттық тағайындау мәселесі (QAP) – математикадағы оңтайландыру немесе операцияларды зерттеу саласының негізгі комбинаторлық оңтайландыру мәселелерінің бірі. Ол Купманс және Бекман алғаш енгізген объектілерді орналастыру мәселелерінің санатына жатады. Мәселе мынандай нақты өмірлік жағдайды модельдейді:
The quadratic assignment problem (QAP) is one of the fundamental combinatorial optimization problems in the branch of optimization or operations research in mathematics, from the category of the facilities location problems first introduced by Koopmans and Beckmann. The problem models the following real life problem:
There are a set of n facilities and a set of n locations. For each pair of locations, a distance is specified and for each pair of facilities a weight or flow is specified (e. g., the amount of supplies transported between the two facilities). The problem is to assign all facilities to different locations with the goal of minimizing the sum of the distances multiplied by the corresponding flows. Intuitively, the cost function encourages facilities with high flows between each other to be placed close together. The problem statement resembles that of the assignment problem, except that the cost function is expressed in terms of quadratic inequalities, hence the name.
n нысан мен n орын бар. Әрбір орын жұбы үшін арақашықтық, ал әрбір нысан жұбы үшін салмақ немесе ағын (мысалы, екі нысан арасында тасымалданатын материал көлемі) белгіленеді. Мәселе – барлық нысандарды әртүрлі орынға орналастыру, осылайша арақашықтықтардың ағындарға көбейтілген қосындысын ең төменгі деңгейге дейін азайту. Интуитивті түрде, шығын функциясы өзара жоғары ағыны бар нысандарды бір-біріне жақын орналастыруға ынталандырады. Мәселенің тұжырымы тапсырма мәселесіне ұқсас, бірақ шығын функциясы квадраттық теңсіздіктер арқылы өрнектеледі, сондықтан осылай аталады.
The quadratic assignment problem (QAP) is one of the fundamental combinatorial optimization problems in the branch of optimization or operations research in mathematics, from the category of the facilities location problems first introduced by Koopmans and Beckmann. The problem models the following real life problem:
There are a set of n facilities and a set of n locations. For each pair of locations, a distance is specified and for each pair of facilities a weight or flow is specified (e. g., the amount of supplies transported between the two facilities). The problem is to assign all facilities to different locations with the goal of minimizing the sum of the distances multiplied by the corresponding flows. Intuitively, the cost function encourages facilities with high flows between each other to be placed close together. The problem statement resembles that of the assignment problem, except that the cost function is expressed in terms of quadratic inequalities, hence the name.
Есептеу күрделілігі
Мәселе NP-қиын, сондықтан бұл мәселені полиномиалдық уақытта шешуге белгілі алгоритм жоқ, тіпті кішкентай мысалдарда да ұзақ есептеу уақыты қажет болуы мүмкін. Сондай-ақ, егер P = NP болмаса, бұл мәселенің кез келген (тұрақты) коэффициент үшін полиномиалдық уақытта жұмыс істейтін жуықтау алгоритмі жоқ екені дәлелденді. Саяхатшы саудагерінің мәселесі (TSP) ағын орналастыру мәселесінің (QAP) ерекше жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін, егер ағындар барлық объектілерді тек бір сақина бойынша байланыстырса, барлық ағындар нөлдік емес (тұрақты) мәнге ие болса және барлық қашықтықтар TSP мысалының сәйкес қашықтықтарына тең болса. Стандартты комбинаторлық оптимизацияның көптеген басқа да мәселелерін осы форматта жазуға болады.
Қолданбалар
Бастапқы өсімдік орналасуының формуласына қоса, QAP – электрондық компоненттердің өзара байланысты бөліктерін баспалы схемалық тақтаға немесе микрочипке орналастыру мәселесін модельдеуге арналған математикалық модель, ол электроника өнеркәсібіндегі компьютерлік жобалаудың орналастыру және маршрутизация кезеңінің бір бөлігі болып табылады.