Кіріспе
Рональд Грэм тапқан үлкен сан, Рональд Грэмнің атымен аталған өте үлкен сан – бұл Рамзи теориясының математикалық саласындағы бір мәселенің шешімінің жоғарғы шегі ретінде туындаған өте зор сан. Бұл сан Скуес саны мен Мозер саны сияқты басқа көптеген үлкен сандардан әлдеқайда үлкен, ал олардың өзі гуголплекстен де әлдеқайда үлкен. Осы сандар сияқты, Грэм саны да соншалықты үлкен, әрбір цифры бір Планк көлемін, мүмкін ең кішкентай өлшенетін кеңістікті алған жағдайда, байқалатын ғалам Грэм санының әдеттегі цифрлық бейнесін сыйдыра алмайды. Бірақ тіпті Грэм санының цифрлық бейнесіндегі цифрлардың саны да өзі соншалықты үлкен сан болар еді, оның цифрлық бейнесі байқалатын ғаламда бейнелене алмайды. Оның үстіне, сол санның цифрларының саны да, және осылайша, байқалатын ғаламдағы Планк көлемдерінің жалпы санынан әлдеқайда көп рет қайталанады. Сондықтан Грэм санын физикалық ғаламның өлшемдеріне сәйкес келетін қуат мұнаралары арқылы да көрсету мүмкін емес. Дегенмен, Грэм санын Кнуттың жоғары көрсеткіш белгісін немесе оған баламасын қолдана отырып, есептеуге болатын рекурсивті формулалар арқылы нақты беруге болады, осылайша саның атымен аталуын Рональд Грэм қамтамасыз етті. Оны анықтау үшін рекурсивті формула болғандықтан, ол әдеттегі «әрекетті құнды» сандардан әлдеқайда кіші, олардың өсуі кез келген есептелетін тізбектен жылдам. Грэм санын толыққанды есептеу мүмкін болмаса да, оның цифрлар тізбегін қарапайым алгоритмдер арқылы нақты есептеуге болады; соңғы 13 цифры – 7262464195387. Кнуттың жоғары көрсеткіш белгісін қолдану арқылы Грэм саны , Грэм санын Грэм ғылыми-популяр әдебиеттерді жазатын Мартин Гарднермен сөйлескенде, ол жұмыс істеп жатқан мәселенің жоғарғы шектерін түсіндіру үшін қолданды. 1977 жылы Гарднер Scientific American журналында осы санды сипаттап, оны көпшілікке таныстырды. Ол енгізілген кезде, бұл жарияланған математикалық дәлелде қолданылған ең үлкен нақты оң бүтін сан болды. Бұл сан 1980 жылғы Гиннес рекордтар кітабына енгізіліп, оның танымалдығын арттырды. Грэм санынан әлдеқайда үлкен басқа да нақты бүтін сандар (мысалы, TREE(3)) көптеген күрделі математикалық дәлелдемелерде пайда болды, мысалы Харви Фридманның Крускал теоремасының әртүрлі шекті формаларымен байланысты. Сонымен қатар, Грэм саны алынған Рамзи теориясының мәселесіне қатысты кішірек жоғарғы шектердің жарамды екені дәлелденді.
the very large number named after Ronald Graham
Graham's number is an immense number that arose as an upper bound on the answer of a problem in the mathematical field of Ramsey theory. It is much larger than many other large numbers such as Skewes's number and Moser's number, both of which are in turn much larger than a googolplex. As with these, it is so large that the observable universe is far too small to contain an ordinary digital representation of Graham's number, assuming that each digit occupies one Planck volume, possibly the smallest measurable space. But even the number of digits in this digital representation of Graham's number would itself be a number so large that its digital representation cannot be represented in the observable universe. Nor even can the number of digits of that number—and so forth, for a number of times far exceeding the total number of Planck volumes in the observable universe. Thus Graham's number cannot be expressed even by physical universe scale power towers of the form
However, Graham's number can be explicitly given by computable recursive formulas using Knuth's up arrow notation or equivalent, as was done by Ronald Graham, the number's namesake. As there is a recursive formula to define it, it is much smaller than typical busy beaver numbers, the latter of which grow faster than any computable sequence. Though too large to ever be computed in full, the sequence of digits of Graham's number can be computed explicitly via simple algorithms; the last 13 digits are 7262464195387. Using Knuth's up arrow notation, Graham's number is , where
Graham's number was used by Graham in conversations with popular science writer Martin Gardner as a simplified explanation of the upper bounds of the problem he was working on. In 1977, Gardner described the number in Scientific American, introducing it to the general public. At the time of its introduction, it was the largest specific positive integer ever to have been used in a published mathematical proof. The number was described in the 1980 Guinness Book of World Records, adding to its popular interest. Other specific integers (such as TREE(3)) known to be far larger than Graham's number have since appeared in many serious mathematical proofs, for example in connection with Harvey Friedman's various finite forms of Kruskal's theorem. Additionally, smaller upper bounds on the Ramsey theory problem from which Graham's number was derived have since been proven to be valid.
Жарияланым
Бұл сан 1977 жылы қарашада Мартин Гарднер Scientific American журналының "Математикалық ойындар" бөлімінде сипаттағанда көпшіліктің назарына ілікті. Ол Грэмның жақында жарияланбаған дәлелдемесінде "өте зор шек, ол қатаң математикалық дәлелдемеде қолданылған ең үлкен сан рекордын сақтайды" деп жазғанын айтты. 1980 жылғы Гиннестің рекордтар кітабы Гарднердің бұл мәлімдемесін қайталап, осы санға деген қызығушылықты арттырды. Физик Джон Баездің сөзіне сәйкес, Грэм Гарднермен әңгімелескен кезде қазір Грэм саны деп танылатын шаманы ойлап тапты. Грэм өзінің әріптесі Брюс Ли Ротшильдпен бірге алған Рамзи теориясы бойынша нәтижені түсіндіруге тырысқанда, бұл шаманың дәлелдемеде пайда болған нақты саннан түсіндіруге оңай екенін анықтады. Грэм Гарднерге сипаттаған санның мөлшері мақаладағы саннан артық болғандықтан, екеуі де Грэм мен Ротшильд зерттеген мәселенің шешімінің жоғарғы шегі болып табылады.