Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Приближение физического поведения
Approximation of physical behavior
В физике и теории вероятностей, теория среднего поля (MFT) или самосогласованная теория поля изучает поведение многомерных случайных (стохастических) моделей, исследуя более простую модель, которая аппроксимирует исходную путем усреднения по степеням свободы (количество значений в конечном вычислении статистики, которые могут варьироваться). Такие модели рассматривают множество отдельных компонентов, взаимодействующих друг с другом. Основная идея MFT заключается в замене всех взаимодействий с любым телом средним или эффективным взаимодействием, иногда называемым молекулярным полем. Это сводит любую задачу, включающую множество тел, к эффективной задаче, описывающей одно тело. Простота решения задач MFT позволяет получить некоторое представление о поведении системы при меньших вычислительных затратах. С тех пор MFT нашла применение в широком спектре областей за пределами физики, включая статистический вывод, графические модели, нейробиологию, искусственный интеллект, модели эпидемий, теорию массового обслуживания, производительность компьютерных сетей и теорию игр, например, в равновесии квантовых ответов.
In physics and probability theory, Mean field theory (MFT) or Self consistent field theory studies the behavior of high dimensional random (stochastic) models by studying a simpler model that approximates the original by averaging over degrees of freedom (the number of values in the final calculation of a statistic that are free to vary). Such models consider many individual components that interact with each other. The main idea of MFT is to replace all interactions to any one body with an average or effective interaction, sometimes called a molecular field. This reduces any many body problem into an effective one body problem. The ease of solving MFT problems means that some insight into the behavior of the system can be obtained at a lower computational cost. MFT has since been applied to a wide range of fields outside of physics, including statistical inference, graphical models, neuroscience, artificial intelligence, epidemic models, queueing theory, computer network performance and game theory, as in the quantal response equilibrium.
Происхождение
Идея впервые появилась в физике (статистической механике) в работах Пьера Кюри и Пьера Вайса для описания фазовых переходов. Метод среднего поля (МСП) использовался в приближении Брэгга — Уильямса, моделях на решетке Бете, теории Ландау, приближении Пьера — Вайса, теории растворов Флори — Хэггинса и теории Шейтженса — Флиера. Системы с большим (иногда бесконечным) числом степеней свободы, как правило, сложно решить точно или вычислить в замкнутой аналитической форме, за исключением некоторых простых случаев (например, определенных гауссовских теорий случайных полей, одномерной модели Изинга). Часто возникают комбинаторные задачи, которые затрудняют вычисление функции разделения системы. МСП — это метод приближения, который часто делает исходную задачу решаемой и доступной для вычислений, и в некоторых случаях МСП может давать очень точные приближения. В теории поля гамильтониан можно разложить по величине флуктуаций относительно среднего значения поля. В этом контексте МСП можно рассматривать как разложение гамильтониана в флуктуациях до "нулевого порядка". Физически это означает, что в системе МСП отсутствуют флуктуации, что соответствует замене всех взаимодействий "средним полем". Зачастую МСП служит удобной отправной точкой для изучения флуктуаций более высокого порядка. Например, при вычислении функции разделения изучение комбинаторики членов взаимодействия в гамильтониане иногда может дать лишь результаты теории возмущений или диаграммы Фейнмана, которые корректируют приближение среднего поля.
The idea first appeared in physics (statistical mechanics) in the work of Pierre Curie and Pierre Weiss to describe phase transitions. MFT has been used in the Bragg–Williams approximation, models on Bethe lattice, Landau theory, Pierre–Weiss approximation, Flory–Huggins solution theory, and Scheutjens–Fleer theory. Systems with many (sometimes infinite) degrees of freedom are generally hard to solve exactly or compute in closed, analytic form, except for some simple cases (e. g. certain Gaussian random field theories, the 1D Ising model). Often combinatorial problems arise that make things like computing the partition function of a system difficult. MFT is an approximation method that often makes the original solvable and open to calculation, and in some cases MFT may give very accurate approximations. In field theory, the Hamiltonian may be expanded in terms of the magnitude of fluctuations around the mean of the field. In this context, MFT can be viewed as the "zeroth order" expansion of the Hamiltonian in fluctuations. Physically, this means that an MFT system has no fluctuations, but this coincides with the idea that one is replacing all interactions with a "mean field”. Quite often, MFT provides a convenient launch point for studying higher order fluctuations. For example, when computing the partition function, studying the combinatorics of the interaction terms in the Hamiltonian can sometimes at best produce perturbation results or Feynman diagrams that correct the mean field approximation.
Действительность
В целом, размерность играет активную роль в определении применимости подхода среднего поля к конкретной задаче. Иногда существует критическая размерность, выше которой МФТ является корректным, а ниже – нет. В рамках МФТ множество взаимодействий заменяются одним эффективным взаимодействием. Поэтому, если поле или частица испытывают множество случайных взаимодействий в исходной системе, они, как правило, компенсируют друг друга, что повышает точность среднего эффективного взаимодействия и самого МФТ. Это справедливо в случаях высокой размерности, когда гамильтониан включает силы дальнего радиуса действия, или когда частицы имеют протяженность (например, полимеры). Критерий Гинзбурга – это формальное выражение того, как флуктуации приводят к тому, что МФТ становится плохим приближением, и он часто зависит от числа пространственных измерений в рассматриваемой системе.
In general, dimensionality plays an active role in determining whether a mean field approach will work for any particular problem. There is sometimes a critical dimension above which MFT is valid and below which it is not. Heuristically, many interactions are replaced in MFT by one effective interaction. So if the field or particle exhibits many random interactions in the original system, they tend to cancel each other out, so the mean effective interaction and MFT will be more accurate. This is true in cases of high dimensionality, when the Hamiltonian includes long range forces, or when the particles are extended (e. g. polymers). The Ginzburg criterion is the formal expression of how fluctuations render MFT a poor approximation, often depending upon the number of spatial dimensions in the system of interest.
Приложения
Теория среднего поля может быть применена к ряду физических систем для изучения явлений, таких как фазовые переходы.
Mean field theory can be applied to a number of physical systems so as to study phenomena such as phase transitions.
Расширение на зависимые от времени средние поля
В теории среднего поля среднее поле, возникающее в задаче для одной точки, является скалярной или векторной величиной, не зависящей от времени. Однако это не всегда так: в варианте теории среднего поля, называемом динамической теорией среднего поля (DMFT), среднее поле становится зависящим от времени. Например, DMFT можно применить к модели Хаббарда для изучения перехода металл-диэлектрик Мотта.
In mean field theory, the mean field appearing in the single site problem is a time independent scalar or vector quantity. However, this isn't always the case: in a variant of mean field theory called dynamical mean field theory (DMFT), the mean field becomes a time dependent quantity. For instance, DMFT can be applied to the Hubbard model to study the metal–Mott insulator transition.