Гауссовское размытие: теория и реализация в обработке изображений

Введение

Тип размытия изображения, создаваемого гауссовой функцией.

В обработке изображений гауссово размытие (также известное как гауссово сглаживание) — это результат размытия изображения с помощью гауссовой функции (названной в честь математика и ученого Карла Фридриха Гаусса). Это широко используемый эффект в графическом программном обеспечении, как правило, для уменьшения шума изображения и снижения детализации. Визуальный эффект данной техники размытия — плавное размытие, напоминающее просмотр изображения через полупрозрачный экран, что отчетливо отличается от эффекта боке, создаваемого не сфокусированным объективом, или от тени объекта при обычном освещении. Гауссово сглаживание также используется в качестве этапа предварительной обработки в алгоритмах компьютерного зрения для улучшения структуры изображения в различных масштабах — см. представление масштабного пространства и реализацию масштабного пространства.

Низкопроходный фильтр

Гауссовское размытие — это фильтр нижних частот, ослабляющий высокочастотные сигналы. Его амплитудно-частотная характеристика (логарифмический масштаб в частотной области) представляет собой параболу.

Матрица Гаусса образца

Эта матрица образцов получается путем дискретизации ядра гауссового фильтра (с σ = 0,84089642) в серединах каждого пикселя с последующей нормализацией. Центральный элемент (в координатах [0, 0]) имеет наибольшее значение, которое симметрично уменьшается с увеличением расстояния от центра. Поскольку начало координат ядра фильтра находится в центре, матрица начинается в точке и заканчивается в точке , где R – радиус ядра. Элемент 0.22508352 (центральный) в 1177 раз больше, чем 0.00019117, который находится чуть за пределами 3σ.

Реализация

Гауссов эффект размытия обычно генерируется путем свертки изображения с FIR-ядром, содержащим гауссовские значения. На практике, лучше всего использовать разделимое свойство гауссовского размытия, разделив процесс на два прохода. В первом проходе используется одномерное ядро для размытия изображения только в горизонтальном или вертикальном направлении. Во втором проходе то же одномерное ядро используется для размытия в оставшемся направлении. Полученный эффект эквивалентен свертке с двумерным ядром за один проход, но требует меньше вычислений. Дискретизация обычно достигается путем дискретизации ядра гауссового фильтра в дискретных точках, как правило, в позициях, соответствующих серединам каждого пикселя. Это снижает вычислительные затраты, но для очень маленьких ядер фильтра точечная дискретизация гауссовой функции с небольшим количеством точек приводит к значительной ошибке. В этих случаях точность можно сохранить (с небольшими вычислительными затратами) путем интегрирования гауссовой функции по площади каждого пикселя. При преобразовании непрерывных значений гауссиана в дискретные значения, необходимые для ядра, сумма значений может отличаться от 1. Это приведет к затемнению или осветлению изображения. Чтобы это исправить, значения можно нормализовать, разделив каждый элемент ядра на сумму всех элементов ядра. Гораздо более эффективный и теоретически обоснованный подход заключается в выполнении сглаживания с использованием дискретного аналога гауссова ядра, который обладает схожими свойствами в дискретном пространстве, как и непрерывное гауссово ядро в непрерывном пространстве, например, ядро, соответствующее решению диффузионного уравнения, описывающего процесс пространственного сглаживания, подчиняющегося свойству полугруппы при сложении дисперсий ядра, или описывающее эффект броуновского движения в пространственной области, при этом сумма его значений точно равна 1. Более подробное описание дискретного аналога гауссова ядра можно найти в статье о реализации масштабного пространства.

A Gaussian blur effect is typically generated by convolving an image with an FIR kernel of Gaussian values. In practice, it is best to take advantage of the Gaussian blur’s separable property by dividing the process into two passes. In the first pass, a one dimensional kernel is used to blur the image in only the horizontal or vertical direction. In the second pass, the same one dimensional kernel is used to blur in the remaining direction. The resulting effect is the same as convolving with a two dimensional kernel in a single pass, but requires fewer calculations. Discretization is typically achieved by sampling the Gaussian filter kernel at discrete points, normally at positions corresponding to the midpoints of each pixel. This reduces the computational cost but, for very small filter kernels, point sampling the Gaussian function with very few samples leads to a large error. In these cases, accuracy is maintained (at a slight computational cost) by integration of the Gaussian function over each pixel's area. When converting the Gaussian’s continuous values into the discrete values needed for a kernel, the sum of the values will be different from 1. This will cause a darkening or brightening of the image. To remedy this, the values can be normalized by dividing each term in the kernel by the sum of all terms in the kernel. A much better and theoretically more well founded approach is to instead perform the smoothing with the discrete analogue of the Gaussian kernel, which possesses similar properties over a discrete domain as makes the continuous Gaussian kernel special over a continuous domain, for example, the kernel corresponding to the solution of a diffusion equation describing a spatial smoothing process, obeying a semi group property over additions of the variance of the kernel, or describing the effect of Brownian motion over a spatial domain, and with the sum of its values being exactly equal to 1. For a more detailed description about the discrete analogue of the Gaussian kernel, see the article on scale space implementation and.

Временное сглаживание

Для обработки предварительно записанных временных сигналов или видео, гауссово ядро также может быть использовано для сглаживания во временной области, поскольку данные предварительно записаны и доступны по всем направлениям времени. Однако при обработке временных сигналов или видео в реальном времени, гауссово ядро нельзя использовать для временного сглаживания, так как для этого потребовался бы доступ к данным из будущего, что невозможно. Для временного сглаживания в реальном времени можно использовать временное ядро, называемое ядром с причинно-следственным ограничением, которое обладает схожими свойствами в причинной ситуации (отсутствие создания новых структур при увеличении масштаба и ковариации по времени), как и гауссово ядро в не причинной ситуации. Ядро с причинно-следственным ограничением соответствует свертке с бесконечным числом усеченных экспоненциальных ядер, соединенных последовательно, с конкретно выбранными временными константами. Для дискретных данных это ядро часто можно достаточно точно аппроксимировать небольшим набором рекурсивных фильтров первого порядка, соединенных последовательно, см.

Фотография

Цифровые камеры начального уровня, включая многие камеры мобильных телефонов, часто используют гауссово размытие для маскировки шума изображения, возникающего при высоких значениях ISO. Гауссово размытие автоматически применяется камерой в процессе постобработки фотографии, что приводит к безвозвратной потере детализации.