Введение
Теорема о натуральных числах
In mathematical logic, Goodstein's theorem is a statement about the natural numbers, proved by Reuben Goodstein in 1944, which states that every Goodstein sequence (as defined below) eventually terminates at 0. Laurence Kirby and Jeff Paris showed that it is unprovable in Peano arithmetic (but it can be proven in stronger systems, such as second order arithmetic). This was the third example of a true statement about natural numbers that is unprovable in Peano arithmetic, after the examples provided by Gödel's incompleteness theorem and Gerhard Gentzen's 1943 direct proof of the unprovability of ε0 induction in Peano arithmetic. The Paris–Harrington theorem gave another example. Kirby and Paris introduced a graph theoretic hydra game with behavior similar to that of Goodstein sequences: the "Hydra" (named for the mythological multi headed Hydra of Lerna) is a rooted tree, and a move consists of cutting off one of its "heads" (a branch of the tree), to which the hydra responds by growing a finite number of new heads according to certain rules. Kirby and Paris proved that the Hydra will eventually be killed, regardless of the strategy that Hercules uses to chop off its heads, though this may take a very long time. Just like for Goodstein sequences, Kirby and Paris showed that it cannot be proven in Peano arithmetic alone. Then if P(m) terminates, so does G(m). By infinite regress, G(m) must reach 0, which guarantees termination. We define a function which computes the hereditary base k representation of u and then replaces each occurrence of the base k with the first infinite ordinal number ω. For example,
Each term P(m)(n) of the sequence P(m) is then defined as f(G(m)(n),n+1). For example, 1=G(3)(1) = 3 = 21 + 20 and 1=P(3)(1) = f(21 + 20,2) = ω1 + ω0 = ω + 1. Addition, multiplication and exponentiation of ordinal numbers are well defined. We claim that :
Let be G(m)(n) after applying the first,
base changing operation in generating the next element of the Goodstein sequence,
but before the second minus 1 operation in this generation. Observe that
Then Now we apply the minus 1 operation, and , as For example, and , so and , which is strictly smaller. Note that in order to calculate f(G(m)(n),n+1), we first need to write G(m)(n) in hereditary base n+1 notation, as for instance the expression is not an ordinal. Thus the sequence P(m) is strictly decreasing. As the standard order < on ordinals is well founded, an infinite strictly decreasing sequence cannot exist, or equivalently, every strictly decreasing sequence of ordinals terminates (and cannot be infinite). But P(m)(n) is calculated directly from G(m)(n). Hence the sequence G(m) must terminate as well, meaning that it must reach 0. While this proof of Goodstein's theorem is fairly easy, the Kirby–Paris theorem, which shows that Goodstein's theorem is not a theorem of Peano arithmetic, is technical and considerably more difficult. It makes use of countable nonstandard models of Peano arithmetic.
В математической логике теорема Гудштейна — это утверждение о натуральных числах, доказанное Рубеном Гудштейном в 1944 году, которое гласит, что каждая последовательность Гудштейна (как определено ниже) в конечном итоге завершается в 0. Лоуренс Кирби и Джефф Пэрис показали, что она недоказуема в арифметике Пеано (но может быть доказана в более сильных системах, таких как арифметика второго порядка). Это был третий пример истинного утверждения о натуральных числах, которое недоказуемо в арифметике Пеано, после примеров, приведенных теоремой о неполноте Гёделя и прямым доказательством Герхарда Гентцена 1943 года недоказуемости ε0-индукции в арифметике Пеано. Теорема Париса — Харрингтона дает другой пример. Кирби и Пэрис представили теоретическую игру «Гидра» с поведением, аналогичным поведению последовательностей Гудштейна: «Гидра» (названная в честь мифологической многоголовой Гидры из Лерны) — это корневое дерево, и ход состоит в том, чтобы отрезать одну из её «голов» (ветвь дерева), на что гидра отвечает выращиванием конечного числа новых голов в соответствии с определенными правилами. Кирби и Пэрис доказали, что гидра в конечном итоге будет уничтожена, независимо от стратегии, которую использует Геркулес для отрубания её голов, хотя это может занять очень много времени. Как и для последовательностей Гудштейна, Кирби и Пэрис показали, что это не может быть доказано только в арифметике Пеано. Тогда, если P(m) завершается, то и G(m) тоже. В силу бесконечного регресса, G(m) должна достичь 0, что гарантирует завершение. Мы определяем функцию, которая вычисляет наследственное представление u в основании k, а затем заменяет каждое вхождение основания k первым бесконечным порядковым числом ω. Например, каждый член P(m)(n) последовательности P(m) определяется как f(G(m)(n), n+1). Например, 1 = G(3)(1) = 3 = 21 + 20 и 1 = P(3)(1) = f(21 + 20, 2) = ω1 + ω0 = ω + 1. Сложение, умножение и возведение в степень порядковых чисел определены корректно. Мы утверждаем, что:
In mathematical logic, Goodstein's theorem is a statement about the natural numbers, proved by Reuben Goodstein in 1944, which states that every Goodstein sequence (as defined below) eventually terminates at 0. Laurence Kirby and Jeff Paris showed that it is unprovable in Peano arithmetic (but it can be proven in stronger systems, such as second order arithmetic). This was the third example of a true statement about natural numbers that is unprovable in Peano arithmetic, after the examples provided by Gödel's incompleteness theorem and Gerhard Gentzen's 1943 direct proof of the unprovability of ε0 induction in Peano arithmetic. The Paris–Harrington theorem gave another example. Kirby and Paris introduced a graph theoretic hydra game with behavior similar to that of Goodstein sequences: the "Hydra" (named for the mythological multi headed Hydra of Lerna) is a rooted tree, and a move consists of cutting off one of its "heads" (a branch of the tree), to which the hydra responds by growing a finite number of new heads according to certain rules. Kirby and Paris proved that the Hydra will eventually be killed, regardless of the strategy that Hercules uses to chop off its heads, though this may take a very long time. Just like for Goodstein sequences, Kirby and Paris showed that it cannot be proven in Peano arithmetic alone. Then if P(m) terminates, so does G(m). By infinite regress, G(m) must reach 0, which guarantees termination. We define a function which computes the hereditary base k representation of u and then replaces each occurrence of the base k with the first infinite ordinal number ω. For example,
Each term P(m)(n) of the sequence P(m) is then defined as f(G(m)(n),n+1). For example, 1=G(3)(1) = 3 = 21 + 20 and 1=P(3)(1) = f(21 + 20,2) = ω1 + ω0 = ω + 1. Addition, multiplication and exponentiation of ordinal numbers are well defined. We claim that :
Let be G(m)(n) after applying the first,
base changing operation in generating the next element of the Goodstein sequence,
but before the second minus 1 operation in this generation. Observe that
Then Now we apply the minus 1 operation, and , as For example, and , so and , which is strictly smaller. Note that in order to calculate f(G(m)(n),n+1), we first need to write G(m)(n) in hereditary base n+1 notation, as for instance the expression is not an ordinal. Thus the sequence P(m) is strictly decreasing. As the standard order < on ordinals is well founded, an infinite strictly decreasing sequence cannot exist, or equivalently, every strictly decreasing sequence of ordinals terminates (and cannot be infinite). But P(m)(n) is calculated directly from G(m)(n). Hence the sequence G(m) must terminate as well, meaning that it must reach 0. While this proof of Goodstein's theorem is fairly easy, the Kirby–Paris theorem, which shows that Goodstein's theorem is not a theorem of Peano arithmetic, is technical and considerably more difficult. It makes use of countable nonstandard models of Peano arithmetic.
Пусть будет G(m)(n) после применения первой операции изменения основания при генерации следующего элемента последовательности Гудштейна, но до второй операции «минус 1» в этом поколении. Заметьте, что тогда мы применяем операцию «минус 1», и, как Например, и , так что , что строго меньше. Обратите внимание, что для вычисления f(G(m)(n), n+1) мы сначала должны записать G(m)(n) в наследственном представлении в основании n+1, так как, например, выражение не является порядковым числом. Таким образом, последовательность P(m) строго убывающая. Поскольку стандартный порядок < на порядковых числах хорошо обоснован, бесконечная строго убывающая последовательность не может существовать, или, эквивалентно, каждая строго убывающая последовательность порядковых чисел завершается (и не может быть бесконечной). Но P(m)(n) вычисляется непосредственно из G(m)(n). Следовательно, последовательность G(m) также должна завершиться, то есть она должна достичь 0. Хотя это доказательство теоремы Гудштейна довольно просто, теорема Кирби — Париса, которая показывает, что теорема Гудштейна не является теоремой арифметики Пеано, является технической и значительно более сложной. В ней используются счетные нестандартные модели арифметики Пеано.
In mathematical logic, Goodstein's theorem is a statement about the natural numbers, proved by Reuben Goodstein in 1944, which states that every Goodstein sequence (as defined below) eventually terminates at 0. Laurence Kirby and Jeff Paris showed that it is unprovable in Peano arithmetic (but it can be proven in stronger systems, such as second order arithmetic). This was the third example of a true statement about natural numbers that is unprovable in Peano arithmetic, after the examples provided by Gödel's incompleteness theorem and Gerhard Gentzen's 1943 direct proof of the unprovability of ε0 induction in Peano arithmetic. The Paris–Harrington theorem gave another example. Kirby and Paris introduced a graph theoretic hydra game with behavior similar to that of Goodstein sequences: the "Hydra" (named for the mythological multi headed Hydra of Lerna) is a rooted tree, and a move consists of cutting off one of its "heads" (a branch of the tree), to which the hydra responds by growing a finite number of new heads according to certain rules. Kirby and Paris proved that the Hydra will eventually be killed, regardless of the strategy that Hercules uses to chop off its heads, though this may take a very long time. Just like for Goodstein sequences, Kirby and Paris showed that it cannot be proven in Peano arithmetic alone. Then if P(m) terminates, so does G(m). By infinite regress, G(m) must reach 0, which guarantees termination. We define a function which computes the hereditary base k representation of u and then replaces each occurrence of the base k with the first infinite ordinal number ω. For example,
Each term P(m)(n) of the sequence P(m) is then defined as f(G(m)(n),n+1). For example, 1=G(3)(1) = 3 = 21 + 20 and 1=P(3)(1) = f(21 + 20,2) = ω1 + ω0 = ω + 1. Addition, multiplication and exponentiation of ordinal numbers are well defined. We claim that :
Let be G(m)(n) after applying the first,
base changing operation in generating the next element of the Goodstein sequence,
but before the second minus 1 operation in this generation. Observe that
Then Now we apply the minus 1 operation, and , as For example, and , so and , which is strictly smaller. Note that in order to calculate f(G(m)(n),n+1), we first need to write G(m)(n) in hereditary base n+1 notation, as for instance the expression is not an ordinal. Thus the sequence P(m) is strictly decreasing. As the standard order < on ordinals is well founded, an infinite strictly decreasing sequence cannot exist, or equivalently, every strictly decreasing sequence of ordinals terminates (and cannot be infinite). But P(m)(n) is calculated directly from G(m)(n). Hence the sequence G(m) must terminate as well, meaning that it must reach 0. While this proof of Goodstein's theorem is fairly easy, the Kirby–Paris theorem, which shows that Goodstein's theorem is not a theorem of Peano arithmetic, is technical and considerably more difficult. It makes use of countable nonstandard models of Peano arithmetic.
Применение к вычислимым функциям
Теорема Гудштейна может быть использована для построения тотальной вычислимой функции, которую арифметика Пеано не может доказать как тотальную. Последовательность Гудштейна для числа может быть эффективно перечислена машиной Тьюринга; таким образом, функция, отображающая n в число шагов, необходимых для завершения последовательности Гудштейна от n, вычислима конкретной машиной Тьюринга. Эта машина просто перечисляет последовательность Гудштейна от n и, когда последовательность достигает 0, возвращает длину последовательности. Поскольку каждая последовательность Гудштейна в конечном итоге завершается, эта функция является тотальной. Но поскольку арифметика Пеано не доказывает, что каждая последовательность Гудштейна завершается, арифметика Пеано не доказывает, что эта машина Тьюринга вычисляет тотальную функцию.