Введение
Класс вычислительной сложности задач
In computational complexity theory, bounded error quantum polynomial time (BQP) is the class of decision problems solvable by a quantum computer in polynomial time, with an error probability of at most 1/3 for all instances. It is the quantum analogue to the complexity class BPP. A decision problem is a member of BQP if there exists a quantum algorithm (an algorithm that runs on a quantum computer) that solves the decision problem with high probability and is guaranteed to run in polynomial time. A run of the algorithm will correctly solve the decision problem with a probability of at least 2/3. BQP algorithm (1 run) ≥ 2/3 ≤ 1/3 ≤ 1/3 ≥ 2/3 BQP algorithm (k runs) > 1 − 2−ck < 2−ck < 2−ck > 1 − 2−ckfor some constant c > 0
В теории вычислительной сложности, класс ограниченной ошибки квантового полиномиального времени (BQP) – это класс задач, решаемых квантовым компьютером за полиномиальное время, с вероятностью ошибки не более 1/3 для всех экземпляров. Это квантовый аналог класса сложности BPP. Задача относится к классу BQP, если существует квантовый алгоритм (алгоритм, выполняемый на квантовом компьютере), который решает эту задачу с высокой вероятностью и гарантированно работает за полиномиальное время. При одном запуске алгоритм правильно решит задачу с вероятностью не менее 2/3.
In computational complexity theory, bounded error quantum polynomial time (BQP) is the class of decision problems solvable by a quantum computer in polynomial time, with an error probability of at most 1/3 for all instances. It is the quantum analogue to the complexity class BPP. A decision problem is a member of BQP if there exists a quantum algorithm (an algorithm that runs on a quantum computer) that solves the decision problem with high probability and is guaranteed to run in polynomial time. A run of the algorithm will correctly solve the decision problem with a probability of at least 2/3. BQP algorithm (1 run) ≥ 2/3 ≤ 1/3 ≤ 1/3 ≥ 2/3 BQP algorithm (k runs) > 1 − 2−ck < 2−ck < 2−ck > 1 − 2−ckfor some constant c > 0
Алгоритм BQP (1 запуск) ≥ 2/3 ≤ 1/3 ≤ 1/3 ≥ 2/3
In computational complexity theory, bounded error quantum polynomial time (BQP) is the class of decision problems solvable by a quantum computer in polynomial time, with an error probability of at most 1/3 for all instances. It is the quantum analogue to the complexity class BPP. A decision problem is a member of BQP if there exists a quantum algorithm (an algorithm that runs on a quantum computer) that solves the decision problem with high probability and is guaranteed to run in polynomial time. A run of the algorithm will correctly solve the decision problem with a probability of at least 2/3. BQP algorithm (1 run) ≥ 2/3 ≤ 1/3 ≤ 1/3 ≥ 2/3 BQP algorithm (k runs) > 1 − 2−ck < 2−ck < 2−ck > 1 − 2−ckfor some constant c > 0
Алгоритм BQP (k запусков) > 1 − 2−ck < 2−ck < 2−ck > 1 − 2−ck
In computational complexity theory, bounded error quantum polynomial time (BQP) is the class of decision problems solvable by a quantum computer in polynomial time, with an error probability of at most 1/3 for all instances. It is the quantum analogue to the complexity class BPP. A decision problem is a member of BQP if there exists a quantum algorithm (an algorithm that runs on a quantum computer) that solves the decision problem with high probability and is guaranteed to run in polynomial time. A run of the algorithm will correctly solve the decision problem with a probability of at least 2/3. BQP algorithm (1 run) ≥ 2/3 ≤ 1/3 ≤ 1/3 ≥ 2/3 BQP algorithm (k runs) > 1 − 2−ck < 2−ck < 2−ck > 1 − 2−ckfor some constant c > 0
для некоторой константы c > 0.
In computational complexity theory, bounded error quantum polynomial time (BQP) is the class of decision problems solvable by a quantum computer in polynomial time, with an error probability of at most 1/3 for all instances. It is the quantum analogue to the complexity class BPP. A decision problem is a member of BQP if there exists a quantum algorithm (an algorithm that runs on a quantum computer) that solves the decision problem with high probability and is guaranteed to run in polynomial time. A run of the algorithm will correctly solve the decision problem with a probability of at least 2/3. BQP algorithm (1 run) ≥ 2/3 ≤ 1/3 ≤ 1/3 ≥ 2/3 BQP algorithm (k runs) > 1 − 2−ck < 2−ck < 2−ck > 1 − 2−ckfor some constant c > 0
Определение
BQP можно рассматривать как языки, связанные с определенными унифицированными семействами квантовых схем с ограниченной погрешностью. Подобно другим вероятностным классам с "ограниченной погрешностью", выбор значения 1/3 в определении является произвольным. Мы можем запустить алгоритм постоянное число раз и принять решение большинством голосов, чтобы достичь любой желаемой вероятности корректности, меньшей 1, используя неравенство Черноффа. Класс сложности не изменится, если допустить погрешность до 1/2 − n−c с одной стороны, или потребовать погрешность не более 2−nc с другой стороны, где c — любая положительная константа, а n — длина входных данных.
Отношение к другим классам сложности
Диаграмма классов сложности BQP. Предполагаемые взаимосвязи BQP с другими классами задач PP и PSPACE. Было показано, что относительно оракула BQP не содержится в PH. Можно доказать существование оракула A, для которого BQPA ⊃ PHA. Добавление постселекции к BQP приводит к классу сложности PostBQP, который эквивалентен PP.
Полная проблема для Promise-BQP
Обещание BQP — это класс задач обещания, разрешимых униформным семейством квантовых схем (то есть, в BQP). Доказательства полноты ориентированы на эту версию BQP. Аналогично понятию NP-полноты и другим полным задачам, мы можем определить полную задачу как задачу, принадлежащую классу Promise BQP, к которой любая другая задача из Promise BQP полиномиально сводится.
BQP и Срок действия
Начнем с более простого ограничения. Чтобы доказать это, достаточно показать, что APPROX QCIRCUIT PROB принадлежит классу EXP, поскольку APPROX QCIRCUIT PROB является BQP-полной задачей. Отметим, что для работы этого алгоритма также требуется пространство для хранения векторов и матриц. В следующем разделе мы покажем, что можно улучшить сложность по памяти.
BQP и PSPACE
Сумма историй — это метод, предложенный физиком Ричардом Фейнманом для интегрального представления. APPROX QCIRCUIT PROB может быть сформулирован с использованием техники суммы историй, чтобы показать, что. Рассмотрим квантовую схему C, состоящую из t ворот, , где каждое из них принадлежит универсальному набору ворот и действует не более чем на два кубита. Чтобы понять суть суммы историй, представим эволюцию квантового состояния при заданной квантовой схеме в виде дерева. Корень дерева — это вход , а каждый узел в дереве имеет потомков, каждый из которых представляет состояние в . Вес ребра дерева от узла на j-м уровне, представляющего состояние , до узла на -м уровне, представляющего состояние , равен , амплитуде состояния после применения на . Переходная амплитуда от корня до листа — это произведение всех весов на ребрах вдоль пути. Чтобы получить вероятность конечного состояния , мы суммируем амплитуды всех путей от корня до листа, заканчивающихся в узле, представляющем .
Consider a quantum circuit C, which consists of t gates, , where each comes from a universal gate set and acts on at most two qubits. To understand what the sum of histories is, we visualize the evolution of a quantum state given a quantum circuit as a tree. The root is the input , and each node in the tree has children, each representing a state in The weight on a tree edge from a node in j th level representing a state to a node in th level representing a state is , the amplitude of after applying on The transition amplitude of a root to leaf path is the product of all the weights on the edges along the path. To get the probability of the final state being , we sum up the amplitudes of all root to leave paths that ends at a node representing
More formally, for the quantum circuit C, its sum over histories tree is a tree of depth m, with one level for each gate in addition to the root, and with branching factor
Notice in the sum over histories algorithm to compute some amplitude , only one history is stored at any point in the computation. Hence, the sum over histories algorithm uses space to compute for any x since bits are needed to store the histories in addition to some workspace variables. Therefore, in polynomial space, we may compute over all x with the first qubit being 1, which is the probability that the first qubit is measured to be 1 by the end of the circuit. Notice that compared with the simulation given for the proof that , our algorithm here takes far less space but far more time instead. In fact it takes time to calculate a single amplitude!
Более формально, для квантовой схемы C, её дерево суммы историй — это дерево глубины m, с одним уровнем для каждого ворот в дополнение к корню, и с коэффициентом ветвления .
Consider a quantum circuit C, which consists of t gates, , where each comes from a universal gate set and acts on at most two qubits. To understand what the sum of histories is, we visualize the evolution of a quantum state given a quantum circuit as a tree. The root is the input , and each node in the tree has children, each representing a state in The weight on a tree edge from a node in j th level representing a state to a node in th level representing a state is , the amplitude of after applying on The transition amplitude of a root to leaf path is the product of all the weights on the edges along the path. To get the probability of the final state being , we sum up the amplitudes of all root to leave paths that ends at a node representing
More formally, for the quantum circuit C, its sum over histories tree is a tree of depth m, with one level for each gate in addition to the root, and with branching factor
Notice in the sum over histories algorithm to compute some amplitude , only one history is stored at any point in the computation. Hence, the sum over histories algorithm uses space to compute for any x since bits are needed to store the histories in addition to some workspace variables. Therefore, in polynomial space, we may compute over all x with the first qubit being 1, which is the probability that the first qubit is measured to be 1 by the end of the circuit. Notice that compared with the simulation given for the proof that , our algorithm here takes far less space but far more time instead. In fact it takes time to calculate a single amplitude!
Обратите внимание, что в алгоритме суммы историй для вычисления некоторой амплитуды , в любой момент вычисления хранится только одна история. Следовательно, алгоритм суммы историй использует пространство для вычисления любого x, поскольку для хранения историй требуется битов, а также некоторые переменные рабочей области. Таким образом, в полиномиальном пространстве мы можем вычислить для всех x, при условии, что первый кубит равен 1, что является вероятностью измерения первого кубита как 1 в конце схемы. Заметьте, что по сравнению с моделированием, представленным в доказательстве , наш алгоритм здесь требует гораздо меньше памяти, но значительно больше времени. Фактически, для вычисления одной амплитуды требуется время!
Consider a quantum circuit C, which consists of t gates, , where each comes from a universal gate set and acts on at most two qubits. To understand what the sum of histories is, we visualize the evolution of a quantum state given a quantum circuit as a tree. The root is the input , and each node in the tree has children, each representing a state in The weight on a tree edge from a node in j th level representing a state to a node in th level representing a state is , the amplitude of after applying on The transition amplitude of a root to leaf path is the product of all the weights on the edges along the path. To get the probability of the final state being , we sum up the amplitudes of all root to leave paths that ends at a node representing
More formally, for the quantum circuit C, its sum over histories tree is a tree of depth m, with one level for each gate in addition to the root, and with branching factor
Notice in the sum over histories algorithm to compute some amplitude , only one history is stored at any point in the computation. Hence, the sum over histories algorithm uses space to compute for any x since bits are needed to store the histories in addition to some workspace variables. Therefore, in polynomial space, we may compute over all x with the first qubit being 1, which is the probability that the first qubit is measured to be 1 by the end of the circuit. Notice that compared with the simulation given for the proof that , our algorithm here takes far less space but far more time instead. In fact it takes time to calculate a single amplitude!
BQP и PP
Аналогичный аргумент суммирования по траекториям можно использовать для доказательства того, что .