Қатаң геометрияны модельдеу қағидалары жиынтығы

Кіріспе

Қатты геометрияны модельдеу қағидаларының жиынтығы

Қатты модельдеу (немесе қатты модельдеу) – үш өлшемді нысандарды (қатты денелерді) математикалық және компьютерлік модельдеудің біртұтас қағидалар жиынтығы. Қатты модельдеу геометриялық модельдеу және компьютерлік графика сияқты кеңірек байланысты салалардан физикалық сәйкестікке баса назар аударуымен ерекшеленеді. Геометриялық және қатты модельдеу принциптері 3D компьютерлік дизайның негізін құрайды және физикалық объектілердің цифрлық модельдерін жасау, алмасу, визуализациялау, анимациялау, сауалдау және түсіндіруді жалпы қолдайды.

Шолу

Қатты модельдеу техникаларын қолдану жобалау процесінің бір бөлігі ретінде жүзеге асырылатын бірнеше қиын инженерлік есептеулерді автоматтандыруға мүмкіндік береді. Станокпен өңдеу және құрастыру сияқты процестерді модельдеу, жоспарлау және тексеру қатты модельдеуді дамытуға ықпал еткен маңызды факторлардың бірі болды. Соңғы кезде қолдау көрсетілетін өндіріс салалары кеңейді, оған металл кесу, инжекциялық қалыптау, дәнекерлеу, құбыр жүргізу және тағы да басқалары кіреді. Традициялық өндірістен өзге, қатты модельдеу техникалары жылдам прототиптеуге, цифрлық деректерді сақтауға және физикалық нысандардан алынған нүктелер арқылы қатты денелерді қайта құру арқылы кері инженерияға негіз болады, сондай-ақ шекті элементтер әдісін қолдана отырып механикалық талдау, қозғалыс жоспарлау және NC бағыттарын тексеру, механизмдердің кинематикалық және динамикалық талдауы және т.б. үшін де қолданылады. Осы қолданыстардың барлығындағы басты мәселе – нақты объектілердің физикалық қасиеттеріне сәйкес келетін үш өлшемді геометрияны тиімді көрсету және манипуляциялау қабілеті болып табылады. Қатты модельдеу саласындағы зерттеулер мен әзірлемелер осы мәселелердің көпшілігін тиімді шешті және компьютерлік инженерияның маңызды бағыты болып қала береді.

Математикалық негіздер

Қазіргі таңда қолданылып жүрген қатты модельдеу тұжырымы, механикалық геометриялық модельдеу жүйелерінде ақпараттық толықтықтың қажеттілігіне негізделген, яғни кез келген компьютерлік модель, оның сәйкес физикалық нысанынан туындайтын барлық геометриялық сұрақтарға жауап беруге мүмкіндік беруі керек. Бұл талап, бір физикалық нысанның бірнеше компьютерлік бейнелемелері болу мүмкіндігін, егер олар өзара сәйкес болса, мойындайды. Нысанның ақпараттық толықтығын есептеу арқылы тексеру үшін, физикалық нысан есептеуге болатын математикалық қасиеттермен анықталуы және нақты бейнелемеге тәуелді болмауы керек. Осындай ой-толғамдар, қазіргі қатты модельдеу саласын қалыптастырған модельдеу парадигмасының дамуына әкелді. Өндірілген барлық компоненттердің шекті мөлшері және дұрыс шекаралары бар, сондықтан бастапқыда біртекті изотропты материалдан жасалған қатаң денелерді математикалық модельдеуге назар аударылды, оларды қосу немесе алып тастау мүмкін. Бұл гипотезалық қасиеттерді үш өлшемді Евклид кеңістігінің ішкі жиынтықтары ретінде қарастыруға болады. "Қаттылықты" анықтаудың екі кең таралған тәсілі – нүктелік топология және алгебралық топология. Екі модель де қатты денелерді қарапайым бөліктерден немесе жасушалардан қалай құрастыруға болатынын көрсетеді. Континуумдық нүктелік жиынтық моделі бойынша, кез келген X ⊂ ℝ³ жиынының барлық нүктелерін X-ке қатысты олардың маңына байланысты ішкі, сыртқы немесе шекаралық нүктелер деп жіктеуге болады. ℝ³ кеңістігі стандартты Евклид метрикасымен жабдықталған болса, p ∈ X нүктесінің маңы ашық шар түрінде болады. X қатты деп есептелуі үшін, кез келген p ∈ X нүктесінің әрбір маңы үш өлшемді болуы керек; төмен өлшемді маңы бар нүктелер қаттылықтың жоқтығын көрсетеді. Маңайдың өлшемдік біртектілігі жабық тұрақты жиындар класы үшін кепілдендіріледі, олар ішкі жабылуына тең жиындар ретінде анықталады. Кез келген X ⊂ ℝ³ жиынының ішкі жабылуын алып, жабық тұрақты жиынға айналдыруға немесе "реттеуге" болады, сондықтан қатты денелерді модельдеу кеңістігі математикалық тұрғыдан ℝ³ кеңістігінің жабық тұрақты ішкі жиындары кеңістігі ретінде анықталады (Хейне-Борель теоремасы бойынша, барлық қатты денелер компактты жиындар болып табылады). Сонымен қатар, қатты денелер жиынтықтардың біріктірілуі, тоғысуы және айырмасы сияқты Буль операцияларына қатысты жабық болуы керек (материалды қосу және алып тастағаннан кейін қаттылықты қамтамасыз ету үшін). Жабық тұрақты жиындарға стандартты Буль операцияларын қолдану жабық тұрақты жиынды тудырмауы мүмкін, бірақ бұл мәселені стандартты Буль операцияларын қолдану нәтижесін реттеу арқылы шешуге болады. Реттелген жиынтық операциялары ∪∗, ∩∗ және −∗ деп белгіленеді. X ⊂ ℝ³ жиынының қатты дене ретінде комбинаторлық сипаттамасы, X-ті бағдарланатын жасушалық кешен ретінде бейнелеуді қамтиды, сондықтан жасушалар, басқаша жағдайда сандалмайтын континуумдағы нүктелер үшін шекті кеңістіктік мекенжайларды қамтамасыз етеді. Атап айтқанда, бұл көпбұрыштың комбинаторлық шекарасының Эйлер сипаттамасы 2-ге тең екенін білдіреді. Комбинаторлық көпқырлылықтың қаттылық моделі сонымен қатар Джордан-Брауэр теоремасының салдарынан қатты дененің шекарасы кеңістікті дәл екі компонентке бөледі, осылайша өндіруге болмайтын көптік емес маңайлармен жиынтықты жояды. Нүктелік жиынтық және комбинаторлық модельдер бір-бірімен толық үйлеседі, қажет болған жағдайда континуумдық немесе комбинаторлық қасиеттерге сүйене отырып, бірін-бірі алмастыра алады және n өлшемге дейін кеңейтілуі мүмкін. Бұл үйлесімділікті жеңілдететін негізгі қасиет – Rn кеңістігінің жабық тұрақты ішкі жиындарының класы дәл біртекті n өлшемді топологиялық көпбұрыштармен сәйкес келеді. Сондықтан, әрбір n өлшемді қатты дене оның шекарасымен анық бейнеленеді және шекарада n-1 өлшемді полиэдрдің үйлесімді n-1 өлшемді маңайлары бар комбинаторлық құрылымы бар.

The notion of solid modeling as practised today relies on the specific need for informational completeness in mechanical geometric modeling systems, in the sense that any computer model should support all geometric queries that may be asked of its corresponding physical object. The requirement implicitly recognizes the possibility of several computer representations of the same physical object as long as any two such representations are consistent. It is impossible to computationally verify informational completeness of a representation unless the notion of a physical object is defined in terms of computable mathematical properties and independent of any particular representation. Such reasoning led to the development of the modeling paradigm that has shaped the field of solid modeling as we know it today. All manufactured components have finite size and well behaved boundaries, so initially the focus was on mathematically modeling rigid parts made of homogeneous isotropic material that could be added or removed. These postulated properties can be translated into properties of regions, subsets of three dimensional Euclidean space. The two common approaches to define "solidity" rely on point set topology and algebraic topology respectively. Both models specify how solids can be built from simple pieces or cells. According to the continuum point set model of solidity, all the points of any X ⊂ ℝ3 can be classified according to their neighborhoods with respect to X as interior, exterior, or boundary points. Assuming ℝ3 is endowed with the typical Euclidean metric, a neighborhood of a point p ∈X takes the form of an open ball. For X to be considered solid, every neighborhood of any p ∈X must be consistently three dimensional; points with lower dimensional neighborhoods indicate a lack of solidity. Dimensional homogeneity of neighborhoods is guaranteed for the class of closed regular sets, defined as sets equal to the closure of their interior. Any X ⊂ ℝ3 can be turned into a closed regular set or "regularized" by taking the closure of its interior, and thus the modeling space of solids is mathematically defined to be the space of closed regular subsets of ℝ3 (by the Heine Borel theorem it is implied that all solids are compact sets). In addition, solids are required to be closed under the Boolean operations of set union, intersection, and difference (to guarantee solidity after material addition and removal). Applying the standard Boolean operations to closed regular sets may not produce a closed regular set, but this problem can be solved by regularizing the result of applying the standard Boolean operations. The regularized set operations are denoted ∪∗, ∩∗, and −∗. The combinatorial characterization of a set X ⊂ ℝ3 as a solid involves representing X as an orientable cell complex so that the cells provide finite spatial addresses for points in an otherwise innumerable continuum. In particular this implies the Euler characteristic of the combinatorial boundary of the polyhedron is 2. The combinatorial manifold model of solidity also guarantees the boundary of a solid separates space into exactly two components as a consequence of the Jordan Brouwer theorem, thus eliminating sets with non manifold neighborhoods that are deemed impossible to manufacture. The point set and combinatorial models of solids are entirely consistent with each other, can be used interchangeably, relying on continuum or combinatorial properties as needed, and can be extended to n dimensions. The key property that facilitates this consistency is that the class of closed regular subsets of ℝn coincides precisely with homogeneously n dimensional topological polyhedra. Therefore, every n dimensional solid may be unambiguously represented by its boundary and the boundary has the combinatorial structure of an n−1 dimensional polyhedron having homogeneously n−1 dimensional neighborhoods.

Қатаң өкілдік жүйелері

Математикалық қасиеттерге сүйенсек, қатты денелерді бейнелеудің кез келген схемасы – Евклид кеңістігінің жартылай аналитикалық кіші жиынтықтары класы туралы ақпаратты ұстау әдісі. Бұл, барлық бейнелеулер бірдей геометриялық және топологиялық деректерді дерек құрылымы түрінде ұйымдастырудың әртүрлі жолдары екенін білдіреді. Барлық бейнелеу схемалары примитивтер жиынтығындағы шекті сандагы операциялар бойынша құрылады. Кез келген нақты бейнелеудің модельдеу кеңістігі шекті, ал барлық қатты денелерді бейнелеу үшін жеке бейнелеу схемасы толыққанды жеткіліксіз болуы мүмкін. Мысалы, реттелген бульдік операциялардың комбинациялары арқылы анықталған қатты денелерді, кеңістіктегі траектория бойынша қозғалатын примитивтің қозғалысы ретінде көрсету міндетті емес, тек өте қарапайым жағдайларда ғана мүмкін. Бұл заманауи геометриялық модельдеу жүйелерін қатты денелердің бірнеше бейнелеу схемаларын сақтауға және бейнелеу схемалары арасында тиімді түрлендіруді жеңілдетуге мәжбүр етеді. Қатты дене моделін құруға немесе бейнелеуге қолданылатын техникалар.

Жер бетінің торларын модельдеу

Шекаралық бейнелеуге ұқсас, объектінің беті көрсетіледі. Бірақ, күрделі деректер құрылымдары мен NURBS орнына, жай ғана қатарлас нүктелер мен жиектерден тұратын беттік тор қолданылады. Беттік торлар құрылымды (STL файлдарындағы үшбұрышты торлар сияқты немесе көлденең және тік сақиналары бар төртбұрышты торлар) немесе кездейсоқ топталған үшбұрыштар мен жоғары деңгейлі көпбұрыштардан тұратын құрылымсыз болуы мүмкін.

Құрылысшы қатты геометрия

Конструктивті қатты геометрия (CSG) – жоғарыда талқыланған реттелген жиын операциялары арқылы қатаң денелерді Бульдік құралымдар немесе бастауыш элементтердің комбинациялары ретінде бейнелеу схемаларының жиынтығы. CSG және шекаралық бейнелеулер қазіргі таңда қатаң денелерді бейнелеудің ең маңызды схемалары болып табылады. CSG бейнелеулері реттелген бинарлық ағаштар түрінде келеді, онда терминалды емес түйіндер қатаң түрлендірулерді (бағытты сақтайтын изометрияларды) немесе реттелген жиын операцияларын көрсетеді. Терминалды түйіндер – жабық реттелген жиындарды бейнелейтін бастауыш жапырақтар. CSG бейнелеулерінің мағынасы анық. Әрбір кіші ағаш кіші ағаштың бастауыш жапырақтарында бейнеленген жиынға көрсетілген түрлендірулер/реттелген жиын операцияларын қолдану нәтижесінде алынған жиынды көрсетеді. CSG бейнелеулері, әсіресе, материалды қосу немесе алып тастауға сәйкес келетін мүмкіндіктер түрінде (бостықтар, тесіктер, ойыстар және т.б.) жобалау мақсатын көрсету үшін пайдалы. CSG-нің тартымды қасиеттері: ықшамдылығы, қатаң денелердің жарамдылығының кепілдігі, есептеулер үшін ыңғайлы Бульдік алгебралық қасиеттері және қатаң денелердің пішінін олардың бастауыш элементтерінің, орналасуының және бағыттарын анықтайтын жоғары деңгейлі параметрлер арқылы табиғи түрде басқару мүмкіндігі. Салыстырмалы түрде қарапайым деректер құрылымы және әдемі рекурсивті алгоритмдер CSG-нің танымалдылығына одан әрі үлес қосты.

Тазалау

Жалпы схеманың негізгі идеясы қарапайым. Кеңістікте қозғалатын жиын көлемді (қатты дене) іздестіре алады немесе жаба алады, бұл жиынның өзі және оның траекториясымен көрсетіледі. Мұндай көрсету кескіш қозғалғанда алынған материалды анықтау, салыстырмалы қозғалыс жасайтын екі қатты дененің динамикалық араласуын есептеу, қозғалыс жоспарлау және тіпті компьютерлік графикада, мысалы, суретшінің қылқалам қозғалысын қадағалау сияқты қолдануларда маңызды. Көптеген коммерциялық CAD жүйелері қатты денелерді құру үшін (шектеулі) мүмкіндіктер ұсынады, көбінесе екі өлшемді қиманың кеңістіктегі траектория бойынша, қимаға перпендикуляр қозғалысы түрінде. Дегенмен, қазіргі зерттеулер бір параметрде қозғалатын үш өлшемді пішіндердің және тіпті көп параметрлі қозғалыстардың бірнеше жуықтамаларын көрсетті.

Жасырын түрде өкілдік ету

Кез келген нүктеде бағалана алатын предикатты көрсету – X нүктелер жиынтығын анықтаудың өте жалпы әдісі. Басқаша айтқанда, X – предикатпен берілген шартты қанағаттандыратын барлық нүктелерден тұратын жиын ретінде имплицитті түрде анықталады. Предикаттың ең қарапайым түрі – нақты мәнді функцияның таңбасы бойынша шарт, нәтижесінде жиындықтар теңдіктер мен теңсіздіктер арқылы белгіленеді. Мысалы, егер шарттар жазықтықты және екі ашық сызықты жарты кеңістікті білдірсе. Күрделі функционалдық элементтер қарапайым предикаттардың логикалық комбинациялары арқылы анықталуы мүмкін. Сонымен қатар, R функциялары теориясы кез келген жабық жартылай аналитикалық жиын үшін мұндай белгілеулерді бір функциялық теңсіздікке түрлендіруге мүмкіндік береді. Мұндай белгілеуді көпбұрыштандыру алгоритмдерін қолдану арқылы, мысалы, «маршырушы кубтар» алгоритмін пайдаланып, шекаралық белгілеуге түрлендіруге болады.

Параметриялық және ерекшеліктерге негізделген модельдеу

Белгілер – ішкі геометриялық параметрлер (ұзындығы, ені, тереңдігі сияқты), орналасуы мен бағыты, геометриялық толеранттылықтары, материалдық қасиеттері және басқа белгілерге сілтемелермен байланыстырылған параметрлік пішіндер болып анықталады. Белгілер сонымен қатар, тиісті өндіріс процестеріне және ресурстық модельдерге қол жеткізуді қамтамасыз етеді. Осылайша, белгілердің семантикалық деңгейі бастапқы жабық тұрақты жиындықтардан жоғары. Белгілер, әдетте, CAD-ты өндірістік қолданбалармен байланыстырудың және жобалау деректерін қайта пайдалану үшін деректер базасын ұйымдастырудың негізін құрайды деп есептеледі. Параметриялық белгілерге негізделген модельдеу жиі конструктивті бинарлы қатты геометриямен (CSG) біріктіріледі, бұл инженерлік саладағы күрделі объектілер жүйесін толық сипаттауға мүмкіндік береді.

Қатты модельдеушілердің тарихы

Қатты модельдеушілердің тарихи дамуын CAD тарихының толық контекстінде қарастыру қажет, оның маңызды кезеңдері – BUILD зерттеу жүйесін жасау, одан кейін оның коммерциялық жекеленуі Romulus болды, ол Parasolid, ACIS және Solid Modeling Solutions әзірлеуіне ықпал етті. Тәуелсіз Мемлекеттер Достастығында (ТМД) CAD-ты алғаш дамытқан компаниялардың бірі ASCON 1990 жылдары өзінің қатты модельдеушісін іштен дамытуды бастады. 2012 жылдың қараша айында ASCON компаниясының математикалық бөлімі жеке компания болып бөлініп, C3D Labs деп аталды. Оларға C3D геометриялық модельдеу ядросын жеке өнім ретінде жасау міндеті жүктелді – бұл Ресейден шыққан жалғыз коммерциялық 3D модельдеу ядросы. Сонымен қатар, Mäntylä өзінің GWB және GPM жобалары арқылы үлес қосты, GPM жобасы 1980 жылдардың басында гибридтік модельдеу техникаларын енгізген болатын. Осы кезде Рим университетінде қатты модельдеуге арналған PLaSM бағдарламалау тілі пайда болды.

Компьютерлік көмекпен жобалау

Қатты денелерді модельдеу – CAD жүйесі мүмкіндіктерінің ең төменгі деңгейі ғана. Соңғы он жылда жылдам компьютерлер мен бәсекеге қабілетті бағдарламалық құралдардың бағасының арқасында инженерлік бөлімдерде қатты денелерді модельдеу кеңінен таралды. Қатты денелерді модельдеу бағдарламалық жасақтамасы машинаны жобалау және талдау үшін компоненттердің виртуалды 3D бейнесін құрайды. Типтік графикалық интерфейс бағдарламаланатын макростарды, пернетақта командаларын және динамикалық модельді өңдеуді қамтиды. Модельді нақты уақыт режимінде, көлеңкеленген 3D форматта динамикалық түрде қайта бағдарлау мүмкіндігі басымдыққа ие және дизайнерге 3D бейнесін сақтауға көмектеседі. Қатты бөлшектің моделі әдетте, модель толыққанша жасалғанша біртіндеп қосылатын қасиеттер жиынтығынан тұрады. Инженерлік қатты денелердің модельдері көбінесе эскиздерге негізделген қасиеттермен құрастырылады; 2D эскиздер 3D нысанға айналу үшін белгілі бір жолмен жүреді. Бұл кесулер немесе экструзиялар болуы мүмкін. Компоненттерді жобалау жұмысы әдетте, құрастыру модельдеу әдістерін қолдана отырып, бүкіл өнімнің контексінде жүргізіледі. Құрастыру моделі өнімді құрайтын жеке бөлшектердің модельдеріне сілтемелерді қамтиды. Модельдеудің тағы бір түрі – «беттеу» (еркін пішіндегі беттік модельдеу). Бұл жағдайда беттер анықталып, кесіліп, біріктіріліп, қатты дене жасау үшін толтырылады. Беттер әдетте кеңістіктегі анықтамалық қисықтармен және әртүрлі күрделі командалармен анықталады. Беттеу қиынрақ, бірақ кейбір өндіріс техникаларына, мысалы, инъекциялық қалыптауға жақсырақ қолданылады. Инъекциялық қалыптауға арналған қатты денелердің модельдерінде әдетте беттік және эскиздік қасиеттер болады. Инженерлік сызбалар жартылай автоматты түрде жасалуы мүмкін және қатты денелердің модельдеріне сілтеме жасайды.

Параметрлік модельдеу

Параметриялық модельдеу модельді анықтау үшін параметрлерді (мысалы, өлшемдерді) пайдаланады. Параметрлердің мысалдары: модельдік мүмкіндіктерді құру үшін қолданылатын өлшемдер, материалдың тығыздығы, сыпырылған мүмкіндіктерді сипаттау формулалары, импортталған деректер (мысалы, анықтамалық бетті сипаттайды). Параметр кейіннен өзгертілуі мүмкін, ал модель өзгертуді көрсету үшін жаңартылады. Әдетте, бөлшектер, құрастырмалар және сызбалар арасында байланыс болады. Бір бөлшекте бірнеше мүмкіндік бар, ал құрастырмада бірнеше бөлшектер бар. Сызбалар бөлшектерден немесе құрастырмалардан жасалуы мүмкін. Мысал: 100 мм шеңберді сығу арқылы білік жасалады. Білік соңына торап қосылады. Кейіннен білік 200 мм-ге дейін өзгертіледі (білікті басу, ұзындық өлшемін таңдау, 200-ге өзгерту). Модель жаңартылғанда білік ұзындығы 200 мм болады, торап білік соңына, оған қосылған жерге жылжып орналасады, ал инженерлік сызбалар мен массалық сипаттамалар барлық өзгерістерді автоматты түрде көрсетеді. Параметрлермен байланысты, бірақ сәл өзгеше, шектеулер бар. Шектеулер – белгілі бір пішін құрайтын элементтер арасындағы қатынастар. Мысалы, терезенің қабырғалары параллель және бірдей ұзындықта болуы мүмкін. Параметриялық модельдеу түсінікті және интуитивті. Бірақ CAD-тың алғашқы үш онжылдығында бұл жағдай болған жоқ. Өзгерту – бұл қайта салу немесе ескілердің үстіне жаңа кесінді немесе шығыңқылық қосу. Инженерлік сызбалардағы өлшемдер көрсетілудің орнына жасалған. Параметриялық модельдеу өте қуатты, бірақ модельдеуде көбірек дағды талап етеді. Ерітілген материалдан құйылған бөлшектің күрделі моделінде мыңдаған мүмкіндіктер болуы мүмкін, ал ертедегі мүмкіндікті өзгерту кейінгі мүмкіндіктердің жұмыс істемеуіне әкелуі мүмкін. Сапалы жасалған параметриялық модельдерді ұстау және өзгерту оңай. Параметриялық модельдеу деректерді қайта пайдалануға да мүмкіндік береді. Мысалы, бір модельде бүкіл гайкалар отбасы орналасуы мүмкін.

Инженерлік

Компьютерде жұмыс істейтін CAD бағдарламалары күрделі пішіндерді құрайтын нақты геометрияны "түсінгендіктен", 3D нысандардың көптеген қасиеттері, мысалы, ауырлық орталығы, көлемі және массасы, жылдам есептелуі мүмкін. Мысалы, осы мақаланың жоғары жағында көрсетілген дөңгелек жиекті текше 8,4 мм-ге тең жазық беттер арасындағы өлшемге ие. Оның көптеген радиустары мен әрбір алты бетіндегі шағын пирамидаларына қарамастан, оның қасиеттері дизайнер үшін оңай есептеліп, оң жақтағы скриншотта көрсетілген.