Кіріспе

Белгісіздік бар оптимизациялық мәселелерді модельдеуге арналған аяқша, бақылау теориясы контекстінде. Математикалық оптимизация саласында, стохастикалық бағдарламалау – белгісіздік қамтитын оптимизациялық мәселелерді модельдеуге арналған аяқша. Стохастикалық бағдарлама – бұл кейбір немесе барлық мәселе параметрлері белгісіз болса да, белгілі ықтималдық таралымдарымен анықталатын оптимизациялық мәселе. Бұл аяқша, барлық мәселе параметрлері нақты белгілі деп есептелетін детерминистік оптимизациядан өзгеше. Стохастикалық бағдарламалаудың мақсаты – шешім қабылдаушының таңдаған критерийлерін оңтайландыратын және мәселе параметрлерінің белгісіздігін тиісінше ескеретін шешімді табу. Көптеген нақты өмірдегі шешімдер белгісіздікпен байланысты болғандықтан, стохастикалық бағдарламалау қаржы, көлік және энергияны оңтайландыру сияқты кең ауқымды салаларда қолданыс табады.

Тарату болжамы

Жоғарыда аталған екі кезеңдік мәселенің құрастырылуы екінші кезеңдегі деректердің белгілі ықтималдық таралымы бар кездейсоқ вектор ретінде модельденетінін болжайды. Бұл көптеген жағдайларда негізделген. Мысалы, егер таралым қарастырылып отырған кезеңде маңызды өзгерістерге ұшырамаса, оны тарихи деректерден шығаруға болады. Сондай-ақ, болашақ мәндердің таралымын шамалау үшін үлгідегі эмпирикалық таралымды қолдануға болады. Егер сізде белгілі бір алдын ала модель болса, Байес жаңартуы арқылы кейіннен алынған таралымды (a posteriori distribution) алуға болады.

Стохастикалық сызықтық бағдарламалау

Стохастикалық сызықтық бағдарлама – классикалық екі кезеңді стохастикалық бағдарламаның нақты бір мысалы. Стохастикалық LP көп кезеңді сызықтық бағдарламалардың (LP) жиынтығынан құрылады, олардың әрқайсысы бірдей құрылымға ие, бірақ деректер жағынан сәл өзгеше. Сценарийді көрсететін екі кезеңді LP мынадай формада болуы мүмкін: векторлар және бірінші кезеңнің айнымалыларын қамтиды, олардың мәндері дереу таңдалуы тиіс. Векторда келесі кезеңдердегі барлық айнымалылар бар. Шектеулер тек бірінші кезеңнің айнымалыларына қатысты және барлық сценарийлерде ортақ. Қалған шектеулер кейінгі кезеңдердің айнымалыларын қамтиды және сценарийлерге қарай белгілі бір жайттарда өзгешеленеді, бұл болашаққа қатысты белгісіздікті көрсетеді. Екі кезеңді LP-ны шешу, екінші кезеңдегі сценарийді қандай да бір белгісіздіксіз қабылдауға тең екенін ескеру қажет. Екінші кезеңдегі белгісіздіктерді ескеру үшін әртүрлі сценарийлерге ықтималдықтар тағайындалып, сәйкес детерминистік эквивалент шешілуі керек.

Стохастикалық мәселенің детерминистік баламасы

Шектелген сандардағы сценарийлермен екі кезеңді стохастикалық сызықтық бағдарламалар үлкен сызықтық бағдарламалау мәселелері ретінде модельделуі мүмкін. Бұл формулировка көбінесе детерминистік эквивалентті сызықтық бағдарлама деп аталады немесе детерминистік эквивалентке дейін қысқартылады. (Қатаң айтқанда, детерминистік эквивалент – бірінші кезеңдегі оңтайлы шешімді есептеуге қолданылатын кез келген математикалық бағдарлама, сондықтан олар үздіксіз ықтималдық таратулары үшін де қолданылады, егер екінші кезеңдегі шығындарды белгілі бір жабық түрде көрсету мүмкін болса.) Мысалы, жоғарыдағы стохастикалық сызықтық бағдарламаның детерминистік эквивалентін құру үшін, біз әр сценарийге ықтималдық тағайындаймыз. Содан кейін біз барлық сценарийлердің шектеулеріне байланысты, мақсаттық функцияның күтілетін мәнін азайта аламыз:

Бізде әр сценарий үшін кейінгі кезеңдегі айнымалылардың әртүрлі векторы бар. Бірінші кезеңдегі айнымалылар барлық сценарийлерде бірдей, себебі қай сценарийдің іске асырылатынын білгенге дейін бірінші кезең үшін шешім қабылдауымыз керек. Осының салдарынан, тек және байланысты шектеулер бір рет ғана көрсетілуі керек, ал қалған шектеулер әр сценарий үшін жеке берілуі тиіс.

Сценарийдің құрылысы

Іс жүзінде болашақ туралы сарапшылардың пікірін сұрап, сценарийлер құруға болады. Құрылған сценарийлердің саны салыстырмалы түрде аз болуы керек, сонда алынған детерминистік эквивалентті есептеудің оңай күшін жұмсамай шешуге болады. Көп жағдайда, тек бірнеше сценарийді қолдана отырып табылган оңтайлы шешім, бір ғана сценарийді қабылдағанға қарағанда, жақсырақ бейімделетін жоспарларды ұсынады делінеді. Кейбір жағдайларда мұндай пікірді модельдеу арқылы тексеруге болады. Теориялық тұрғыдан алғанда, алынған шешім бастапқы мәселені жеткілікті дәлдікпен шешеді деген кепілдік шаралары бар. Көбінесе қолданыста тек бірінші кезеңдегі оңтайлы шешімнің ғана маңызы бар, себебі кездейсоқ деректердің "шынайы" жүзеге асуы құрылған (жасалынған) сценарийлер жиынтығынан әрқашан өзгеше болады. Егер дербес кездейсоқ компоненттер саны болса, олардың әрқайсысы үш түрлі жүзеге асу мүмкіндігіне ие (мысалы, кездейсоқ параметрлердің болашақ жүзеге асуы төмен, орташа және жоғары деңгейге бөлінеді), онда сценарийлердің жалпы саны мынадай болады: Сценарийлер санының мұндай экспоненциалды өсуі сарапшылар пікірін пайдалану арқылы модельдерді жасауды қиындатады, тіпті олардың көлемі орташа болған жағдайда да. Егер кездейсоқ компоненттердің бірі үздісіз таралымға ие болса, жағдай одан да нашарлайды.

Биологиялық қолдану

Стохастикалық динамикалық бағдарламалау жиі жануарлар мінез-құлқын модельдеу үшін, мінез-құлық экологиясы сияқты салаларда қолданылады. Оңтайлы азық іздеу, құстарда ұшуға шығу және паразиттік масаларда жұмыртқа салу сияқты өмірлік циклдағы өзгерістердің эмпирикалық сынақтары осы модельдеу техникасының мінез-құлық шешімдерін қабылдау эволюциясын түсіндірудегі пайдалылығын көрсетті. Бұл модельдер көбінесе екі емес, көп сатылы болып келеді.

Экономикалық қолдану

Стохастикалық динамикалық бағдарламалау – белгісіздік ахуалында шешім қабылдауды түсінуге көмектесетін пайдалы құрал. Белгісіздік жағдайында капитал қорының жинақталуы – осының бір мысалы; көбінесе ресурстар экономистері оны биоэкономикалық мәселелерді талдау үшін пайдаланады, мысалы, ауа райы сияқты факторлардың белгісіздігі.