Кіріспе
Дәлелдеу логикасы
Математикалық логикада Лёб теоремасы Пейно арифметикасында (ПА) (немесе ПА-ны қамтитын кез келген формальды жүйеде) кез келген P формуласы үшін, егер ПА-да "егер P ПА-да дәлелденсе, онда P дұрыс" дегені дәлелденсе, онда P ПА-да дәлелденеді. Егер Prov(P) формуласы P-нің дәлелденетінін білдірсе, оны былай формальды түрде жазуға болады:
In mathematical logic, Löb's theorem states that in Peano arithmetic (PA) (or any formal system including PA), for any formula P, if it is provable in PA that "if P is provable in PA then P is true", then P is provable in PA. If Prov(P) means that the formula P is provable, we may express this more formally as
If
then
An immediate corollary (the contrapositive) of Löb's theorem is that, if P is not provable in PA, then "if P is provable in PA, then P is true" is not provable in PA. For example, "If is provable in PA, then " is not provable in PA.
Löb's theorem is named for Martin Hugo Löb, who formulated it in 1955. It is related to Curry's paradox.
Егер
In mathematical logic, Löb's theorem states that in Peano arithmetic (PA) (or any formal system including PA), for any formula P, if it is provable in PA that "if P is provable in PA then P is true", then P is provable in PA. If Prov(P) means that the formula P is provable, we may express this more formally as
If
then
An immediate corollary (the contrapositive) of Löb's theorem is that, if P is not provable in PA, then "if P is provable in PA, then P is true" is not provable in PA. For example, "If is provable in PA, then " is not provable in PA.
Löb's theorem is named for Martin Hugo Löb, who formulated it in 1955. It is related to Curry's paradox.
онда
In mathematical logic, Löb's theorem states that in Peano arithmetic (PA) (or any formal system including PA), for any formula P, if it is provable in PA that "if P is provable in PA then P is true", then P is provable in PA. If Prov(P) means that the formula P is provable, we may express this more formally as
If
then
An immediate corollary (the contrapositive) of Löb's theorem is that, if P is not provable in PA, then "if P is provable in PA, then P is true" is not provable in PA. For example, "If is provable in PA, then " is not provable in PA.
Löb's theorem is named for Martin Hugo Löb, who formulated it in 1955. It is related to Curry's paradox.
Лёб теоремасының тікелей салдары (кері теоремасы) – егер P ПА-да дәлелденбесе, онда "егер P ПА-да дәлелденсе, онда P дұрыс" ПА-да дәлелденбейді. Мысалы, "Егер ПА-да дәлелденсе, онда " ПА-да дәлелденбейді.
In mathematical logic, Löb's theorem states that in Peano arithmetic (PA) (or any formal system including PA), for any formula P, if it is provable in PA that "if P is provable in PA then P is true", then P is provable in PA. If Prov(P) means that the formula P is provable, we may express this more formally as
If
then
An immediate corollary (the contrapositive) of Löb's theorem is that, if P is not provable in PA, then "if P is provable in PA, then P is true" is not provable in PA. For example, "If is provable in PA, then " is not provable in PA.
Löb's theorem is named for Martin Hugo Löb, who formulated it in 1955. It is related to Curry's paradox.
Лёб теоремасы оны 1955 жылы тұжырымдаған Мартин Гюго Лёбтің есімімен аталған. Ол Карри парадоксымен байланысты.
In mathematical logic, Löb's theorem states that in Peano arithmetic (PA) (or any formal system including PA), for any formula P, if it is provable in PA that "if P is provable in PA then P is true", then P is provable in PA. If Prov(P) means that the formula P is provable, we may express this more formally as
If
then
An immediate corollary (the contrapositive) of Löb's theorem is that, if P is not provable in PA, then "if P is provable in PA, then P is true" is not provable in PA. For example, "If is provable in PA, then " is not provable in PA.
Löb's theorem is named for Martin Hugo Löb, who formulated it in 1955. It is related to Curry's paradox.
Лёб теоремасының модальдық дәлелі
Лёб теоремасын модальдық логика шеңберінде, тек дәлелдеу операторына (K4 жүйесі) қатысты негізгі ережелерді және модальдық бекітілген нүктелердің бар екенін пайдалана отырып, дәлелдеуге болады.
Мысалдар
Лёб теоремасының тікелей салдары мынада: егер P ПА-да дәлелденбесе, онда "егер P ПА-да дәлелденсе, онда P шын" ПА-да дәлелденбейді. ПА-ның дұрыс екенін білеміз (бірақ ПА өзінің дұрыс екенін білмейді), мынада қарапайым мысалдар келтірілген: "Егер ПА-да дәлелденсе, онда " ПА-да дәлелденбейді, себебі ПА-да дәлелденбейді (өйткені ол жалған). "Егер ПА-да дәлелденсе, онда " ПА-да дәлелденеді, "Егер Х болса, онда " түріндегі кез келген тұжырым сияқты. "Егер күшейтілген шекті Рамзи теоремасы ПА-да дәлелденсе, онда күшейтілген шекті Рамзи теоремасы дұрыс" ПА-да дәлелденбейді, өйткені "Күшейтілген шекті Рамзи теоремасы дұрыс" ПА-да дәлелденбейді (ақиқат болғанына қарамастан). Доксастық логикада Лёб теоремасы рефлексивті "4-типті" ойлаушы ретінде жіктелген кез келген жүйенің "сұйық" болуын көрсетеді: мұндай ойлаушы ешқашан "P-ге сенуім P-нің шын екенін білдіретін болса" деп сенбеуі мүмкін, P-нің шын екеніне де сенбей. Гёдельдің екінші толық емес теоремасы Лёб теоремасынан P-ге жалған тұжырымды қою арқылы шығады.
"If is provable in PA, then " is not provable in PA, as is not provable in PA (as it is false). "If is provable in PA, then " is provable in PA, as is any statement of the form "If X, then ". "If the strengthened finite Ramsey theorem is provable in PA, then the strengthened finite Ramsey theorem is true" is not provable in PA, as "The strengthened finite Ramsey theorem is true" is not provable in PA (despite being true). In Doxastic logic, Löb's theorem shows that any system classified as a reflexive "type 4" reasoner must also be "modest": such a reasoner can never believe "my belief in P would imply that P is true", without also believing that P is true. Gödel's second incompleteness theorem follows from Löb's theorem by substituting the false statement for P.
Кері: Лёб теоремасы модальдық тұрақты нүктелердің бар екендігін білдіреді
Модальдық тұрақты нүктелердің болуы Лёб теоремасын ғана емес, сонымен қатар керісі де дұрыс. Лёб теоремасы аксиома (схема) ретінде берілген жағдайда, p-де модальдық түрлендірілген кез келген A(p) формуласы үшін тұрақты нүктенің (дәлелдеме арқылы теңдестірілгенге дейін) болуын шығаруға болады. Осылайша, қалыпты модальдық логикада Лёб аксиомасы аксиома схемасы 4, және модальдық тұрақты нүктелердің болуымен эквивалентті.