Құрылымдық дәлелдеме теориясы: Аналитикалық дәлелдер мен логикалық операторлар
Structural proof theory
Структуралық дәлелдеме теориясы – логиканың маңызды саласы. Аналитикалық дәлелдер, кесімділік, дәйектестік және есептеу моделі құруға көмектеседі. Ге́рхард Ге́нценнің жұмыстары.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық логикада, құрылымдық дәлелдеу теориясы – дәлелдеу теориясының тармағы, ол аналитикалық дәлелдеу ұғымын қолдайтын дәлелдеу есептеулерін зерттейді. Аналитикалық дәлелдеу – семантикалық қасиеттері ашыққа шығарылған дәлелдеу түрі. Егер құрылымдық дәлелдеу теориясында формалданып жазылған логиканың барлық теоремалары аналитикалық дәлелдемелерге ие болса, онда дәлелдеу теориясы тұрақтылықты көрсету, шешім қабылдау процедураларын ұсыну және теоремаларға сәйкес математикалық немесе есептеу куәліктерін алу үшін қолданылуы мүмкін, бұл көбінесе модельдеу теориясымен байланысты тапсырма.
In mathematical logic, structural proof theory is the subdiscipline of proof theory that studies proof calculi that support a notion of analytic proof, a kind of proof whose semantic properties are exposed. When all the theorems of a logic formalised in a structural proof theory have analytic proofs, then the proof theory can be used to demonstrate such things as consistency, provide decision procedures, and allow mathematical or computational witnesses to be extracted as counterparts to theorems, the kind of task that is more often given to model theory.
Талдаулық дәлелдеу
Аналитикалық дәлелдеу түсінігін дәлелдеу теориясына Герхард Гентцен кезекті есептеу үшін енгізді; аналитикалық дәлелдеулер кесімнен бос дәлелдеулер болып табылады. Даг Правиц көрсеткендей, оның табиғи дедукциялық есептеуі де аналитикалық дәлелдеу түсінігін қолдайды; анықтамасы сәл күрделірек – аналитикалық дәлелдеулер нормалды түрі болып табылады, ол терминді қайта жазудағы нормалды түр түсінігімен байланысты.
The notion of analytic proof was introduced into proof theory by Gerhard Gentzen for the sequent calculus; the analytic proofs are those that are cut free. His natural deduction calculus also supports a notion of analytic proof, as was shown by Dag Prawitz; the definition is slightly more complex—the analytic proofs are the normal forms, which are related to the notion of normal form in term rewriting.
Құрылымдар мен жалғаулар
Құрылымдық дәлелдеу теориясындағы құрылым термині кезекті есептеуде енгізілген техникалық ұғымнан туындайды: кезекті есептеу, тұжырымның кез келген сатысында жасалған шешімді білдіру үшін құрылымдық операторлар деп аталатын арнайы, қосымша логикалық операторларды пайдаланады: , турникеттің сол жағындағы үтірлер әдетте конъюнкция ретінде, оң жағындағылар дизъюнкция ретінде түсіндіріледі, ал турникеттің өзі импликация ретінде қарастырылады. Бірақ, осы операторлар мен олардың түсіндірілетін логикалық байланыстырушылары арасындағы мінез-құлықтың маңызды айырмашылығын атап өту керек: құрылымдық операторлар есептеудің барлық ережелерінде қолданылады және субформула қасиетіне қатысты қарастырылмайды. Сонымен қатар, логикалық ережелер бір бағытта ғана жұмыс істейді: логикалық құрылым логикалық ережелер арқылы енгізіледі және бір рет құрылғаннан кейін жойылмайды, ал құрылымдық операторлар дәлелдеу процесінде енгізіліп, жойылуы мүмкін. Тізбелердің синтаксистік ерекшеліктерін арнайы, логикалық емес операторлар ретінде қарау идеясы жаңа және дәлелдеу теориясындағы жаңалықтармен шақырылды: құрылымдық операторлар Гетценнің бастапқы кезекті есептеуіндегідей қарапайым болғанда, оларды талдаудың қажеті болмады, бірақ терең қорытынды шығару калькулдары, мысалы, дисплей логикасы (Нуэль Бельнап 1982 жылы енгізген) логикалық байланыстар сияқты күрделі құрылымдық операторларды қолдайды және күрделі өңдеуді қажет етеді.
The term structure in structural proof theory comes from a technical notion introduced in the sequent calculus: the sequent calculus represents the judgement made at any stage of an inference using special, extra logical operators called structural operators: in , the commas to the left of the turnstile are operators normally interpreted as conjunctions, those to the right as disjunctions, whilst the turnstile symbol itself is interpreted as an implication. However, it is important to note that there is a fundamental difference in behaviour between these operators and the logical connectives they are interpreted by in the sequent calculus: the structural operators are used in every rule of the calculus, and are not considered when asking whether the subformula property applies. Furthermore, the logical rules go one way only: logical structure is introduced by logical rules, and cannot be eliminated once created, while structural operators can be introduced and eliminated in the course of a derivation. The idea of looking at the syntactic features of sequents as special, non logical operators is not old, and was forced by innovations in proof theory: when the structural operators are as simple as in Getzen's original sequent calculus there is little need to analyse them, but proof calculi of deep inference such as display logic (introduced by Nuel Belnap in 1982) support structural operators as complex as the logical connectives, and demand sophisticated treatment.
Ұялы тізбекті есептеу
Ұялы ретті есептеу – құрылымдардың екі жақты есептеуіне ұқсас формалды жүйе.
The nested sequent calculus is a formalisation that resembles a 2 sided calculus of structures.