Кіріспе
Нақты сан сипаттамасымен бірегей түрде анықталады.
Бейресми түрде, анықтамалы нақты сан – бұл оның сипаттамасы арқылы бірегей түрде анықталатын нақты сан. Сипаттама құрастырылым түрінде немесе формальді тілдің формуласы ретінде берілуі мүмкін. Мысалы, 2-нің оң квадрат түбірі, √2, теңдеудің бірегей оң шешімі ретінде анықталуы мүмкін және ол циркуль мен сызғыш көмегімен құрастырылуы мүмкін. Формальді тілдің немесе оның интерпретациясының әртүрлі таңдаулары анықтамалылықтың әртүрлі түсініктеріне әкеледі. Анықтамалы сандардың нақты түрлеріне геометриялық құрастырылатын сандар, алгебралық сандар және есептеуге болатын сандар жатады. Формальді тілдерде тек санаулы формулалар ғана болуы мүмкін болғандықтан, анықтамалы сандардың кез келген түсінігінде ең көп дегенде санаулы нақты сандар болады. Дегенмен, Кантордың диагональдық аргументіне сәйкес, нақты сандар санаусыз көп, сондықтан нақты сандардың көпшілігі анықталмайды.
Құрастырылатын сандар
Нақты санды анықтаудың бір жолы геометриялық әдістерді қолдану болып табылады. Нақты сан, егер 1 бірлік ұзындығындағы сызық сегментінен бастап, циркуль мен сызғыш көмегімен берілген ұзындықтағы сызық сегментін салуға әдіс болса, құрастырылатын сан деп аталады. Кез келген оң бүтін сан және кез келген оң бөлшек сан құрастырылатын болады. 2-нің оң квадрат түбірі құрастырылатын. Дегенмен, 2-нің куб түбірі құрастырылмайды; бұл кубты екі еселендіру мүмкін болмауымен байланысты.
Нақты алгебралық сандар
Нақты санды алгебралық сан деп атайды, егерде тек бүтін коэффициенттері бар полином болса, онда бұл полиномның түбірі болып табылады, яғни . Әр нақты алгебралық санды нақты сандардағы реттік қатынасты қолдана отырып жеке анықтауға болады. Мысалы, егер полиномның 5 нақты түбірі болса, үшіншісі бірегей болып анықталады, яғни екі түрлі сан бар, олар санынан кіші, және осы сандарда полином нөлге тең. Барлық рационалды сандар құрастырылатын, ал барлық құрастырылатын сандар алгебралық. Алгебралық, бірақ құрастырылмайтын, мысалы, 2-нің куб түбірі сияқты сандар бар. Нақты алгебралық сандар нақты сандардың қосалқы өрісін құрайды. Бұл 0 және 1 алгебралық сандар екенін білдіреді, сондай-ақ, егер және алгебралық сандар болса, онда , , және, егер нөлден өзгеше болса, да алгебралық болады. Нақты алгебралық сандардың қасиеті, нақты сандардың қосалқы өрісі болудан асып, әрбір оң бүтін сан үшін және әрбір нақты алгебралық сан үшін, оның барлық шын түбірлері де алгебралық болады. Алгебралық сандар санаулы ғана, бірақ нақты сандар санаусыз көп, сондықтан кардиналдық жағынан қарағанда көптеген нақты сандар алгебралық емес. Барлық нақты сандар алгебралық емес екенін көрсететін бұл конструктивті емес дәлелді алғаш рет Георг Кантор 1874 жылы "Барлық нақты алгебралық сандар жиынының қасиеттері туралы" еңбегінде жариялады. Алгебралық емес сандар трансценденттік сандар деп аталады. Ең белгілі трансценденттік сандар – және (математикалық тұрақты).
Each real algebraic number can be defined individually using the order relation on the reals. For example, if a polynomial has 5 real roots, the third one can be defined as the unique such that and such that there are two distinct numbers less than at which is zero. All rational numbers are constructible, and all constructible numbers are algebraic. There are numbers such as the cube root of 2 which are algebraic but not constructible. The real algebraic numbers form a subfield of the real numbers. This means that 0 and 1 are algebraic numbers and, moreover, if and are algebraic numbers, then so are , , and, if is nonzero,
The real algebraic numbers also have the property, which goes beyond being a subfield of the reals, that for each positive integer and each real algebraic number , all of the th roots of that are real numbers are also algebraic. There are only countably many algebraic numbers, but there are uncountably many real numbers, so in the sense of cardinality most real numbers are not algebraic. This nonconstructive proof that not all real numbers are algebraic was first published by
Georg Cantor in his 1874 paper "On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers". Non algebraic numbers are called transcendental numbers. The best known transcendental numbers are and [[e (mathematical constant).
Есептелетін нақты сандар
Нақты сан, егер алгоритм болса, ол берілген натурал сан үшін сол санның ондық кеңейтуін ондық орынға дейін дәл шығара алатын болса, есептелетін сан деп аталады. Бұл ұғымды 1936 жылы Алан Тьюринг енгізді. Есептелетін сандарға алгебралық сандармен қатар көптеген трансценденттік сандар да кіреді, мысалы, және . Алгебралық сандар сияқты, есептелетін сандар да нақты сандардың ішкі өрісін құрайды, ал оң есептелетін сандар кез келген оң санның түбірін алу операциясына қатысты жабық болады. Барлық нақты сандар есептелетін емес. Есептелмейтін нақты сандардың нақты мысалдарына Спикер тізбектерінің лимиттері және Чайтиннің Ω сандары сияқты алгоритмдік тұрғыдан кездейсоқ нақты сандар жатады.
Not all real numbers are computable. Specific examples of noncomputable real numbers include the limits of Specker sequences, and algorithmically random real numbers such as Chaitin's Ω numbers.
Арифметикада анықталуы
Анықталуының тағы бір түсінігі арифметиканың, мысалы, Пеано арифметикасы сияқты формальды теорияларынан туындайды. Арифметика тілі 0, 1, ізбасар операциясы, қосу және көбейту үшін символдарды қамтиды, олар табиғи сандарға қатысты әдеттегідей интерпретацияланады. Бұл тілдің айнымалылары нақты сандар жиынымен шектелмейтіндіктен, нақты сандарға сілтеме жасау үшін өзгеше анықталу түрі қажет. Нақты сан арифметика тілінде (немесе арифметикалық) анықталған болып есептеледі, егер оның Дедекинд кесуі сол тілдегі предикат ретінде анықталуға мүмкін болса; яғни, егер арифметика тілінде үш еркін айнымалысы бар бірінші реттік формула болса, мұнда m, n және p теріс емес бүтін сандарды білдіреді. Арифметиканың екінші реттік тілі бірінші реттік тілмен бірдей, бірақ айнымалылар мен кванторлар натурал сандар жиындары бойынша өзгеруге рұқсат етіледі. Арифметика тілінде екінші реттік анықталатын нақты сан аналитикалық деп аталады. Кез келген есептеуге болатын нақты сан арифметикалық болып табылады, және арифметикалық сандар, аналитикалық сандар сияқты, нақты сандардың ішкі жиынын құрайды. Кез келген арифметикалық сан аналитикалық, бірақ әр аналитикалық сан арифметикалық емес. Аналитикалық сандардың саны санаулы ғана болғандықтан, нақты сандардың көпшілігі аналитикалық емес, демек, арифметикалық та емес. Кез келген есептеуге болатын сан арифметикалық, бірақ әр арифметикалық сан есептеуге бола бермейді. Мысалы, Спекер тізбегінің лимиті – есептеуге келмейтін арифметикалық сан. Арифметикалық және аналитикалық нақты сандардың анықтамалары арифметикалық иерархия және аналитикалық иерархияға жіктелуі мүмкін. Жалпы алғанда, нақты сан есептеуге болатын болып табылады, егер және тек қана оның Дедекинд кесуі арифметикалық иерархияның, ең төменгі деңгейлердің бірінде орналасса. Сол сияқты, арифметикалық Дедекинд кесулері бар нақты сандар аналитикалық иерархияның ең төменгі деңгейін құрайды.
Here m, n, and p range over nonnegative integers. The second order language of arithmetic is the same as the first order language, except that variables and quantifiers are allowed to range over sets of naturals. A real that is second order definable in the language of arithmetic is called analytical. Every computable real number is arithmetical, and the arithmetical numbers form a subfield of the reals, as do the analytical numbers. Every arithmetical number is analytical, but not every analytical number is arithmetical. Because there are only countably many analytical numbers, most real numbers are not analytical, and thus also not arithmetical. Every computable number is arithmetical, but not every arithmetical number is computable. For example, the limit of a Specker sequence is an arithmetical number that is not computable. The definitions of arithmetical and analytical reals can be stratified into the arithmetical hierarchy and analytical hierarchy. In general, a real is computable if and only if its Dedekind cut is at level of the arithmetical hierarchy, one of the lowest levels. Similarly, the reals with arithmetical Dedekind cuts form the lowest level of the analytical hierarchy.
ZFC модельдеріндегі анықталуы
Нақты сан – жиынтық теориясы тілінде бірінші реттік анықтама арқылы анықталады, егер жиынтық теориясы тілінде бір еркін айнымалысы бар формула болса, онда сол формулаға қанағаттандыратын бірегей нақты сан болады. Бұл ұғымды жиынтық теориясы тілінде формула түрінде жазу мүмкін емес. Барлық аналитикалық сандар, әсіресе барлық есептеуге болатын сандар, жиынтық теориясы тілінде анықталады. Осылайша, жиынтық теориясы тілінде анықталатын нақты сандарға 0, 1, π, e және т.б. сияқты барлық таныс нақты сандар, сондай-ақ барлық алгебралық сандар кіреді. Егер олар модельде жиын құрайтыны болжалса, ZFC-нің нақты бір моделі бойынша жиынтық теориясы тілінде анықталатын нақты сандар өріс құрайды. ZFC жиынтық теориясының санаусыз көп нақты сандарды қамтитын әрбір жиынтық моделі параметрлерсіз анықталмайтын нақты сандарды қамтуы керек. Бұл формулалардың саны санаулы екендігіне байланысты, сондықтан модельдегі анықталатын элементтердің саны да санаулы болады. Осылайша, егер модельде санаусыз көп нақты сандар болса, онда сырттан оның барлық нақты сандары модельде анықталмайтынын дәлелдеуге болады.
Бұл аргумент ZFC-нің сыныптық модельдеріне, мысалы, фон Нейман ғаламына қолданғанда көбірек қиындықтар тудырады. "Нақты сан сыныптық модельде анықталады" деген тұжырымды ZFC формуласы түрінде жазуға болмайды. Сол сияқты, фон Нейман ғаламы өзі анықтай алмайтын нақты сандарды қамтиды ма деген сұрақ ZFC тілінде сөйлем түрінде қойылмайды. Сонымен қатар, ZFC-нің кейбір модельдерінде барлық нақты сандар, нақты сандардың барлық жиындары, нақты сандардағы функциялар және т.б. анықталады.