Введение

Реальное число, однозначно определяемое описанием

Неформально, определяемое действительное число – это действительное число, которое можно однозначно задать его описанием. Описание может быть выражено как построение или как формула формального языка. Например, положительный квадратный корень из 2, √2, может быть определен как единственное положительное решение уравнения x² = 2, и его можно построить с помощью циркуля и линейки. Различный выбор формального языка или его интерпретация приводят к различным понятиям определимости. К специфическим разновидностям определяемых чисел относятся конструктивные числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа. Поскольку формальные языки могут содержать лишь счетное количество формул, каждое понятие определяемых чисел содержит не более чем счетное количество определяемых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора, существует несчетное множество действительных чисел, поэтому подавляющее большинство действительных чисел не определимы.

Конструируемые числа

Один из способов задания действительного числа использует геометрические методы. Действительное число называется конструктивным, если существует метод построения отрезка длиной, равной этому числу, с помощью циркуля и линейки, начиная с заданного отрезка длиной 1. Любое положительное целое число и любое положительное рациональное число являются конструктивными. Положительный квадратный корень из 2 конструктивен. Однако кубический корень из 2 не является конструктивным; это связано с невозможностью решения задачи об удвоении куба.

Реальные алгебраические числа

Реальное число называется реальным алгебраическим числом, если существует многочлен , с целыми коэффициентами, такой что является корнем этого многочлена, то есть . Каждое реальное алгебраическое число может быть определено индивидуально с использованием отношения порядка на множестве действительных чисел. Например, если многочлен имеет 5 вещественных корней, то третий корень можно определить как единственный , такой что и существует два различных числа, меньших , при которых многочлен обращается в ноль. Все рациональные числа являются построимыми, а все построимые числа – алгебраическими. Существуют числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не построимыми. Реальные алгебраические числа образуют подполе множества действительных чисел. Это означает, что 0 и 1 являются алгебраическими числами и, кроме того, если и являются алгебраическими числами, то также являются , , и, если не равно нулю, . Реальные алгебраические числа обладают также свойством, выходящим за рамки простого подполя действительных чисел: для каждого положительного целого числа и каждого реального алгебраического числа все -е корни из , являющиеся действительными числами, также являются алгебраическими. Существует счётное количество алгебраических чисел, но несчётное количество действительных чисел, поэтому в смысле мощности большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Это неконструктивное доказательство того, что не все действительные числа являются алгебраическими, впервые было опубликовано Георгом Кантором в его статье 1874 года «О свойстве множества всех действительных алгебраических чисел». Неалгебраические числа называются трансцендентными числами. Наиболее известными трансцендентными числами являются и (математическая константа).

Вычислимые действительные числа

Реальное число является вычислимым, если существует алгоритм, который, получив натуральное число *n*, выдает десятичное разложение этого числа с точностью до *n* знаков после запятой. Это понятие было введено Аланом Тьюрингом в 1936 году. Вычислимые числа включают в себя алгебраические числа, а также многие трансцендентные числа, включая *π* и *e*. Как и алгебраические числа, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты относительно извлечения корня *n*-й степени для любого положительного *n*.
Не все действительные числа вычислимы. Примеры невычислимых действительных чисел включают пределы последовательностей Спекера и алгоритмически случайные действительные числа, такие как числа Омега Чейтина.

Определяемость в арифметике

Другое понятие определимости происходит из формальных теорий арифметики, таких как арифметика Пеано. Язык арифметики содержит символы для 0, 1, операции следования, сложения и умножения, которые предназначены для интерпретации обычным образом над натуральными числами. Поскольку переменные этого языка не принимают значения из множества вещественных чисел, для обращения к вещественным числам требуется иной вид определимости. Вещественное число является определимым в языке арифметики (или арифметическим), если его дедекиндов разрез может быть определен как предикат в этом языке; то есть, если существует формула первого порядка в языке арифметики с тремя свободными переменными, такая что

Здесь m, n и p принимают значения неотрицательных целых чисел. Язык арифметики второго порядка такой же, как и язык первого порядка, за исключением того, что переменные и кванторы могут варьироваться в пределах множеств натуральных чисел. Вещественное число, которое определимо в языке арифметики второго порядка, называется аналитическим. Каждое вычислимое вещественное число является арифметическим, а арифметические числа образуют подполе вещественных чисел, как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует лишь счетное количество аналитических чисел, большинство вещественных чисел не являются аналитическими и, следовательно, также не являются арифметическими. Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число является вычислимым. Например, предел последовательности Спекера – это арифметическое число, которое не является вычислимым. Определения арифметических и аналитических вещественных чисел можно разбить на арифметическую иерархию и аналитическую иерархию. В общем случае, вещественное число является вычислимым тогда и только тогда, когда его дедекиндов разрез находится на уровне арифметической иерархии, одном из самых низких уровней. Аналогично, вещественные числа с арифметическими дедекиндовыми разрезами образуют самый низкий уровень аналитической иерархии.

Определяемость в моделях ZFC

Действительное число называется определимым в языке теории множеств без параметров, если существует формула в языке теории множеств с одной свободной переменной, такая что является единственным действительным числом, для которого эта формула истинна. Это понятие нельзя выразить формулой в языке теории множеств. Все аналитические числа, и в частности все вычислимые числа, определимы в языке теории множеств. Таким образом, действительные числа, определимые в языке теории множеств, включают все известные действительные числа, такие как 0, 1, π, e и так далее, а также все алгебраические числа. Если предположить, что они образуют множество в модели, то действительные числа, определимые в языке теории множеств над данной моделью ZFC, образуют поле. Каждая модельная структура ZFC, содержащая несчетное количество действительных чисел, должна содержать действительные числа, которые не могут быть определены внутри этой структуры (без параметров). Это следует из того, что существует лишь счетное количество формул, и, следовательно, лишь счетное количество элементов может быть определено таким образом. Таким образом, если структура содержит несчетное количество действительных чисел, то извне можно доказать, что не каждое действительное число этой структуры определимо внутри нее.

Этот аргумент становится более сложным, если его применять к классовым моделям ZFC, таким как вселенная фон Неймана. Утверждение "действительное число определимо в классовой модели" нельзя выразить формулой ZFC. Аналогично, вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, нельзя выразить предложением в языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых все действительные числа, все множества действительных чисел, функции на действительных числах и т. д. определимы.