Шексіз өлшемді оптимизация мәселелері: функциялар, пішіндерді табу. Ең қысқа жол іздеу, қисықтарды оптимизациялау. Математикалық модельдеу, алгоритмдер.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Кейбір оңтайландыру мәселелерінде белгісіз оңтайлы шешім сан немесе вектор емес, оның орнына үздіксіз шама болуы мүмкін, мысалы функция немесе дененің пішіні. Мұндай мәселе – шексіз өлшемді оңтайландыру мәселесі, себебі үздіксіз шаманы шектеулі еркіндік дәрежесі санымен анықтауға болмайды.
In certain optimization problems the unknown optimal solution might not be a number or a vector, but rather a continuous quantity, for example a function or the shape of a body. Such a problem is an infinite dimensional optimization problem, because, a continuous quantity cannot be determined by a finite number of certain degrees of freedom.
Мысалдар
Жазықтықтағы екі нүкте арасындағы ең қысқа жолды табыңыз. Бұл мәселенің айнымалылары – екі нүктені байланыстыратын қисықтар. Егер жазықтықтағы метрика Евклидтік метрика болса, ең оңтайлы шешім – нүктелерді біріктіретін сызық сегменті болады. Көптеген төбелер мен аңғарлар бар елдегі екі қаланы ескере отырып, бір қаладан екінші қалаға баратын ең қысқа жолды табыңыз. Бұл мәселе жоғарыда айтылғандардың жалпылауы болып табылады, ал шешім оңай емес. Биіктігі берілген тостақанның жоғарғы және төменгі бөлігі ретінде қызмет ететін екі шеңберді ескере отырып, тостақанның бүйір қабырғасының пішінін табыңыз, сонда бүйір қабырғасының ауданы ең аз болады. Интуиция тостақанның конустық немесе цилиндрлік пішіні болуы керек деп ұсынады, бірақ бұл дұрыс емес. Нақты ең төменгі бет – катеноид. Ең аз материалды пайдалана отырып, берілген көлік көлемін ұстап тұруға қабілетті көпірдің пішінін табыңыз. Радио толқындарының басым бөлігін жау радарынан кері қайтаратын ұшақтың пішінін табыңыз. Шексіз өлшемді оңтайландыру проблемалары, шекті өлшемділерге қарағанда күрделірек болуы мүмкін. Әдетте, мұндай мәселелерді шешу үшін дербес дифференциалдық теңдеулерден әдістерді қолдану қажет. Шексіз өлшемді оңтайландыру проблемаларын зерттейтін бірнеше ғылымдар – вариациялар есебі, оңтайлы басқару және пішіннің оңтайландырылуы.
Find the shortest path between two points in a plane. The variables in this problem are the curves connecting the two points. The optimal solution is of course the line segment joining the points, if the metric defined on the plane is the Euclidean metric. Given two cities in a country with many hills and valleys, find the shortest road going from one city to the other. This problem is a generalization of the above, and the solution is not as obvious. Given two circles which will serve as top and bottom for a cup of given height, find the shape of the side wall of the cup so that the side wall has minimal area. The intuition would suggest that the cup must have conical or cylindrical shape, which is false. The actual minimum surface is the catenoid. Find the shape of a bridge capable of sustaining given amount of traffic using the smallest amount of material. Find the shape of an airplane which bounces away most of the radio waves from an enemy radar. Infinite dimensional optimization problems can be more challenging than finite dimensional ones. Typically one needs to employ methods from partial differential equations to solve such problems. Several disciplines which study infinite dimensional optimization problems are calculus of variations, optimal control and shape optimization.