Введение

В некоторых задачах оптимизации неизвестным оптимальным решением может быть не число или вектор, а непрерывная величина, например, функция или форма объекта. Такая задача является задачей оптимизации бесконечной размерности, поскольку непрерывную величину нельзя определить конечным числом степеней свободы.

Примеры

Найдите кратчайший путь между двумя точками на плоскости. Переменными в этой задаче являются кривые, соединяющие эти две точки. Оптимальным решением, разумеется, является отрезок прямой, соединяющий точки, если метрика, заданная на плоскости, является евклидовой. Пусть даны два города в стране с множеством холмов и долин. Найдите кратчайшую дорогу, соединяющую эти города. Эта задача является обобщением предыдущей, и её решение не столь очевидно. Пусть даны два круга, которые будут служить верхней и нижней границами чашки заданной высоты. Найдите форму боковой стенки чашки так, чтобы площадь боковой стенки была минимальной. Интуиция может подсказать, что чашка должна иметь коническую или цилиндрическую форму, что неверно. Фактически, минимальная площадь поверхности достигается для катеноида. Найдите форму моста, способного выдержать заданную нагрузку, используя минимальное количество материала. Найдите форму самолета, отражающего большую часть радиоволн от вражеского радара. Задачи оптимизации в бесконечномерном пространстве могут быть сложнее, чем в конечномерном. Как правило, для решения таких задач необходимо использовать методы теории дифференциальных уравнений в частных производных. К дисциплинам, изучающим задачи бесконечномерной оптимизации, относятся вариационное исчисление, оптимальное управление и оптимизация формы.