Кіріспе

Матроидтарды жабылу операторларын қолдану арқылы қалыптастыру. Физикадағы прегеометрия.

Прегеометрия, және толық комбинаторлық прегеометрия, негізінен "матроид" сөзінің синонимдері болып табылады. Оларды Джан Карло Рота "айтуға тым қиын, шулы" балама термин ұсыну ниетімен енгізді. Сондай-ақ, "жасырау матроидын" алмастыру мақсатында комбинаторлық геометрия термині, кейде "геометрия" деп қысқартылады, қолданылды. Бұл терминдер қазір матроидтарды зерттеуде сирек қолданылады. Линейлік алгебраның көптеген негізгі ұғымдары – жабылу, тәуелсіздік, субкеңістік, негіз, өлшем – прегеометрияның жалпы аясында қолжетімді екені анықталды. Математикалық логиканың модельдер теориясы саласында шексіз шекті матроидтар, онда "прегеометриялар" (ал жасырау матроидтар болса "геометриялар") деп аталады, тәуелсіздік құбылыстарын талқылауда қолданылады. Прегеометрияның, геометрияның және абстрактілі жабылу операторларының бірінші реттік модельдердің құрылымына қалай әсер ететінін зерттеу геометриялық тұрақтылық теориясы деп аталады.

Мотивация

Егер қандай да бір өрісте векторлық кеңістік болса және , біз оны векторлардың барлық сызықтық комбинацияларының жиынтығы деп анықтаймыз, сонымен қатар, -тың жабылуы деп те айтуға болады. Сонда бізде және және болады. Штайниц алмасу леммасы келесі мәлімдемемен эквивалентті: егер , онда .

Сызықтық алгебраның тәуелсіз жиынтық, тудыру жиынтығы, негіз және өлшем ұғымдарын тек оператор арқылы ғана беруге болады. Прегеометрия – бұл осы жағдайдың абстракциясы: біз кездейсоқ жиынтықтан және кездейсоқ оператордан бастаймыз, ол -тың кез келген кіші жиынтығына жоғарыдағы қасиеттерді қанағаттандыратын -тың кіші жиынтығын сәйкес қояды. Содан кейін біз "сызықтық алгебра" ұғымдарын осы жалпы жағдайда да анықтауға болады. Өлшем туралы бұл жалпыланған түсінік модель теориясында өте пайдалы, онда белгілі бір жағдайда келесідей дәлелдеуге болады: бірдей кардинальдылығы бар екі модельдің өлшемдері бірдей болуы керек және өлшемдері бірдей екі модель изоморфты болуы керек.

Прегеометриялар мен геометриялар

Комбинаторлық прегеометрия (немесе шекті матроид) – жұп, мұндағы жиын және (жабылу шарттығы деп аталады) келесі аксиомаларды қанағаттандырады. Кез келген және үшін:

– монотонды өсуге ие және үстемдік етеді (яғни екенін білдіреді) және идемпотентті (яғни )
Шектеулілік қасиеті: Кез келген үшін, болатын кейбір шекті бар.
Алмасу принципі: Егер , онда (сонымен қатар монотондылық және идемпотенттілік арқасында, шындығында ). нүктесі үшін түрдегі жиынтықтар жабық деп аталады. Одан кейін жабық жиынтықтардың кез келген шекті қиылысы жабық екендігі және – жиынын қамтитын ең кіші жабық жиын екендігі анық болады.
Геометрия – бұл прегеометрия, онда жеке элементтердің жабылуы жеке элементтер болып табылады және бос жиынның жабылуы бос жиын болып табылады.

Тәуелсіздік, негіздер және өлшем

Берілген жиындар , егер кез келген үшін болатын болса, жинағы үстінен тәуелсіз деп айтылады. Жинақ бос жиын үстінен тәуелсіз болса, ол тәуелсіз деп айтылады. Егер жинақ үстінен тәуелсіз болса және болатын болса, онда ол жинақтың үстінен негіз болып табылады.

Негіз – бұл ең үлкен тәуелсіз кіші жиынмен бірдей, ал Зорн леммасын қолдану арқылы кез келген жинақтың негізі бар екенін көрсетуге болады. Алдын ала геометрия Штейниц алмасу қасиетін қанағаттандырғандықтан, барлық негіздер бірдей кардиналдыққа ие, сондықтан жинақтың үстінен өлшемі, деп белгіленетін, жинақтың кез келген негізінің кардиналдығы ретінде анықталады. Тағы да, жинақтың өлшемі бос жиын үстінен өлшем ретінде анықталады. Жинақтар егер кез келген шекті кіші жиын үшін болатын болса, жинағы үстінен тәуелсіз болады. Бұл қатынас симметриялық екенін ескеріңіз.

Автоморфизмдер мен біртекті прегеометриялар

Прегеометрияның автоморфизмі — бұл, кез келген A прегеометриясы үшін, егер кез келген жабық жиын және кез келген екі элемент үшін, сол жиынды қамтитын және сол элементтерді нүктелеп сақтайтын автоморфизм болса, биекция болып табылады. Прегеометрия гомогенді деп аталады.

Қарапайым мысал

Егер кез келген жиын болса, біз барлық үшін анықтауымыз мүмкін. Бұл прегеометрия тривиальді, біртекті және жергілікті шекті геометрия болып табылады.

Векторлық кеңістіктер мен проекциялық кеңістіктер

Let be a field (a division ring actually suffices) және let be a vector space over Then - бұл жиынтықтың жабылуы олардың сызықтық комбинациясы ретінде анықталады, бұл прегеометрия. Жабық жиынтықтар – векторлық кеңістіктің сызықтық подпространстволары, ал сызықтық алгебрадан өлшем туралы түсінік прегеометриялық өлшеммен сәйкес келеді. Бұл прегеометрия біртекті және модулді. Векторлық кеңістіктер модулділіктің классикалық мысалы болып саналады. егер және тек қана шекті болса, онда жергілікті шекті болады. – геометрия емес, себебі кез келген нөлдік емес вектордың жабылуы кем дегенде өлшемді подпространство болып табылады. - өлшемді векторлық кеңістіктің байланысты геометриясы – үстіндегі - өлшемді проективті кеңістік. Бұл прегеометрияның проективті геометрия екенін көру оңай.

Бір-біріне жақын кеңістіктер

Келіңіздер, берілген өріс үстіндегі өлшемді аффиндік кеңістік болсын. Берілген жиынның жабылуы – оның аффиндік қабығы (яғни, оны қамтитын ең кіші аффиндік ішкі кеңістік) деп анықталады. Бұл біртекті өлшемді геометрия құрайды. Аффиндік кеңістік модульді емес (мысалы, егер және параллель түзулер болса, онда модульділік анықтамасындағы формула орындалмайды). Дегенмен, барлық жергілікті кеңістіктердің модульді екенін тексеру оңай.

Өңдеулер мен трансценденттік деңгейі

Бұл өрістің кеңейтілуі болсын. Егер біз үшін анықтасақ, жиынтық алдынғы геометрияға айналады. Бұл жиынтық осы алдынғы геометрияда тәуелсіз, егер және тек егер ол өріс үстінен алгебралық тәуелсіз болса ғана. Алдынғы геометрияның өлшемі трансценденттік дәрежесімен сәйкес келеді. Модель теориясында алгебралық жабық өріс және оның бастапқы өрісі ерекше маңызды. Векторлық кеңістіктер модульдік, ал аффиндік кеңістіктер "шамалы" модульдік (яғни, әр жерде жергілікті модульдік), ал алгебралық жабық өрістер мүлдем жергілікті модульдік емес, осы екі ұғымның екінші шегінің мысалы болып табылады (яғни, локализациялардың ешқайсысы модульдік емес).

Модель теориясындағы өте аз жиынтық

Саналатын бірінші реттік тіл L және L құрылымы M берілгенде, M-нің кез келген анықталатын D ішкі жиыны, егер ол өте минималды болса, D жиынында прегеометрия тудырады. Бұл жердегі жабылу операторы модельдік теориялық мағынадағы алгебралық жабылу арқылы беріледі. Өте минималды теорияның моделі, прегеометрия ретінде оның өлшемі бойынша изоморфизмге дейін анықталады; бұл факт Морлидің категорикалық теоремасын дәлелдеуде қолданылады. Тұрақты теориялардағы минималды жиынтықтарда тәуелсіздік қатынасы, екіге бөліну тәуелсіздігі ұғымымен сәйкес келеді.