Кіріспе
Абстракті алгебрада, егер элементтері субөрістің коэффициенттерімен кез келген тривиалды емес полиномиалдық теңдеуді қанағаттандырмаса, бір өрістің ішкі жиыны субөріс үстінен алгебралық тәуелсіз болады. Атап айтқанда, бір элементті жиынтық алгебралық тәуелсіз болады, егер және тек қана ол берілген өріс үстінен трансцендентті болса. Жалпы, алгебралық тәуелсіз жиынтықтың барлық элементтері міндетті түрде трансцендентті болады, сондай-ақ олардың қалған элементтерімен туындаған өріс кеңейтімдерінің барлығы үстінен де трансцендентті болады.
In abstract algebra, a subset of a field is algebraically independent over a subfield if the elements of do not satisfy any non trivial polynomial equation with coefficients in
In particular, a one element set is algebraically independent over if and only if is transcendental over In general, all the elements of an algebraically independent set over are by necessity transcendental over , and over all of the field extensions over generated by the remaining elements of .
Линдеманн-Вейерштрасс теоремасы
Линдеманн-Вейерштрасс теоремасы кейбір жиындардың сандар жиынынан алгебралық тәуелсіз екенін дәлелдеу үшін жиі қолданылады. Ол егер α₁, ..., αₙ алгебралық сандары сандар жиынынан сызықтық түрде тәуелсіз болса, онда олар сандар жиынынан алгебралық тәуелсіз болады деп мәлімдейді.
Алгебралық матроидтар
Алгебралық емес өріс кеңейтілімі берілгенде, Зорн леммасын пайдаланып, үстінде әрқашан алгебралық тәуелсіз ең үлкен ішкі жиынның бар екенін көрсетуге болады. Бұдан әрі, барлық ең үлкен алгебралық тәуелсіз ішкі жиынтар бірдей кардиналдыққа ие, ол кеңейтілістің трансценденттік дәрежесі деп аталады. Кез келген элементтер жиыны үшін , алгебралық тәуелсіз ішкі жиынтар матроидтың тәуелсіз жиындарын анықтайтын аксиомаларды қанағаттандырады. Бұл матроидта элементтер жиынының ранкі оның трансценденттік дәрежесіне тең, ал элементтер жиынымен туындаған жазықтық – өрістегі қиылысуы. Осылайша құрылатын матроид алгебралық матроид деп аталады. Алгебралық матроидтардың жақсы сипаттамалары белгілі емес, бірақ кейбір матроидтар алгебралық емес екені белгілі; ең кішісі – Вамос матроиды. Көптеген шекті матроидтарды өріс үстіндегі матрица арқылы бейнелеуге болады, онда матроид элементтері матрица бағаналарына сәйкес келеді, ал элементтер жиыны бағаналардың сәйкес жиынтығы сызықтық тәуелсіз болса, тәуелсіз болады. Осы типтегі сызықтық бейнелеуі бар кез келген матроидты матрицаның әрбір қатары үшін белгісіз таңдап, әр матрица элементіне осы трансцендентальдардың сызықтық комбинациясын беру үшін әрбір бағандағы матрица коэффициенттерін пайдаланып алгебралық матроид ретінде де бейнелеуге болады. Керісінше, бұл дұрыс емес: әр алгебралық матроидтың сызықтық бейнелеуі болмайды.