Введение

Формулирование матроидов с использованием операторов замыкания
прегеометрия в физике

Прегеометрия, и в полной комбинаторной прегеометрии, по сути, являются синонимами "матроида". Они были введены Джан Карло Ротой с намерением предложить менее "невыразимо диссонирующий" альтернативный термин. Также термин комбинаторная геометрия, иногда сокращаемый до геометрии, предназначался для замены "простого матроида". Эти термины сейчас редко используются при изучении матроидов. Оказывается, что многие фундаментальные понятия линейной алгебры – замыкание, независимость, подпространство, базис, размерность – доступны в общей структуре прегеометрий. В области математической логики, называемой теорией моделей, бесконечные конечные матроиды, называемые "прегеометриями" (и "геометриями", если они являются простыми матроидами), используются при обсуждении явлений независимости. Изучение того, как прегеометрии, геометрии и абстрактные операторы замыкания влияют на структуру моделей первого порядка, называется теорией геометрической стабильности.

Мотивация

Если V – векторное пространство над некоторым полем и S ⊆ V, мы определяем span(S) как множество всех линейных комбинаций векторов из S, также известное как линейная оболочка S. Тогда span(S) ⊆ V, span({v}) = {cv | c ∈ F} и span(∅) = {0}. Лемма об обмене Штайница эквивалентна утверждению: если v ∈ span(S), то v может быть выражен как линейная комбинация векторов из некоторого подмножества S.

Понятия линейной алгебры, такие как линейно независимое множество, образующее множество, базис и размерность, могут быть выражены исключительно с помощью оператора span. Прегеометрия является абстракцией этой ситуации: мы начинаем с произвольного множества X и произвольного оператора φ, который каждому подмножеству Y ⊆ X присваивает подмножество φ(Y) ⊆ X, удовлетворяющего вышеуказанным свойствам. Тогда мы можем определить понятия "линейной алгебры" и в этой более общей обстановке. Это обобщенное понятие размерности очень полезно в теории моделей, где в определенных ситуациях можно рассуждать следующим образом: две модели с одинаковой кардинальностью должны иметь одинаковую размерность, а две модели с одинаковой размерностью должны быть изоморфны.

Прегеометрии и геометрии

Комбинаторная прегеометрия (также известная как конечный матроид) — это пара (X, c), где X — множество, а c (называемая операцией замыкания) удовлетворяет следующим аксиомам. Для всех A и B из X:

c — монотонно возрастающая и доминирующая (то есть, A ⊆ B подразумевает c(A) ⊆ c(B)) и идемпотентная (то есть, c(A) = c(c(A))).
Конечность: Для каждого A существует конечное множество F такое, что A ⊆ c(F).
Принцип обмена: Если A ⊆ B, то c(A) ⊆ c(B) (и, следовательно, по монотонности и идемпотентности, c(A) = c(B)).
Множества вида c(F) для некоторого F называются замкнутыми. Тогда очевидно, что конечные пересечения замкнутых множеств замкнуты, и c(A) — наименьшее замкнутое множество, содержащее A.
Геометрией называется прегеометрия, в которой замыкание одноэлементных множеств есть одноэлементные множества, а замыкание пустого множества — пустое множество.

Независимость, основания и размер

Для данных множеств , множество называется независимым над если для любого . Множество называется независимым, если оно независимо над пустым множеством. Множество является базисом для над если оно независимо над и .

Базис эквивалентен максимальному независимому подмножеству, и с помощью леммы Зорна можно показать, что каждое множество имеет базис. Поскольку прегеометрия удовлетворяет свойству обмена Штайница, все базисы имеют одинаковую кардинальность, следовательно, мы можем определить размерность над , обозначаемую как , как кардинальность любого базиса над . Аналогично, размерность определяется как размерность над пустым множеством. Множества называются независимыми над если для любого конечного подмножества . Обратите внимание, что это отношение симметрично.

Автоморфизмы и гомогенные прегеометрии

Автоморфизм прегеометрии — это биекция, такая, что для любого множества A прегеометрия называется однородной, если для любого замкнутого множества и любых двух элементов существует автоморфизм, который отображает один элемент в другой и фиксирует остальные точечно.

Тривиальный пример

Если M — любое множество, мы можем определить для всех x из M. Эта прегеометрия является тривиальной, однородной, локально конечной геометрией.

Векторные пространства и проективные пространства

Пусть будет поле (в действительности достаточно кольца деления) и пусть будет векторное пространство над Тогда это прегеометрия, где замыканиями множеств определяются их линейные оболочки. Замкнутыми множествами являются линейные подпространства, и понятие размерности из линейной алгебры совпадает с размерностью прегеометрии. Эта прегеометрия однородна и модулярна. Векторные пространства считаются прототипическим примером модулярности. является локально конечной, если и только если конечномерна. не является геометрией, поскольку замыкание любого ненулевого вектора является подпространством размерности не менее 1. Ассоциированная геометрия векторного пространства размерности над является -мерным проективным пространством над . Легко видеть, что эта прегеометрия является проективной геометрией.

Сродственные пространства

Пусть $\mathbb{A}$ — $n$-мерное аффинное пространство над полем $K$. Для заданного множества $S$ определим его замыкание как его аффинную оболочку (т.е. наименьшее аффинное подпространство, содержащее $S$). Это образует однородную $n$-мерную геометрию. Аффинное пространство не является модульным (например, если $l_1$ и $l_2$ — параллельные прямые, то формула в определении модульности не выполняется). Однако легко проверить, что все локализации являются модульными.

Расширения поля и степень трансцендентности

Пусть K – расширение поля. Множество K становится прегеометрией, если мы определим для любых элементов. Множество S независимо в этой прегеометрии тогда и только тогда, когда оно алгебраически независимо над K. Размерность K совпадает со степенью трансцендентности. В теории моделей особенно важен случай, когда K алгебраически замкнуто и его простым полем является. В то время как векторные пространства являются модульными, а аффинные пространства – "почти" модульными (то есть везде локально модульными), алгебраически замкнутые поля являются примерами другой крайности, не являясь даже локально модульными (то есть ни одна из локализаций не является модульной).

Сильно минимальные множества в теории моделей

При заданном счетном языке первого порядка L и L-структуре M, любое определяемое подмножество D модели M, являющееся сильно минимальным, порождает прегеометрию на множестве D. Оператор замыкания в этом случае задается алгебраическим замыканием в смысле теории моделей. Модель сильно минимальной теории определяется с точностью до изоморфизма своей размерностью как прегеометрией; этот факт используется в доказательстве теоремы категоричности Морли. В минимальных множествах над стабильными теориями отношение независимости совпадает с понятием независимости разветвления.