Кіріспе
Статистикалық механика мен математикада Бета торы (немесе тұрақты ағаш) – шексіз байланысқан, циклдар жоқ график, ондағы барлық төбелердің көршілерінің саны бірдей. Бета торын физика әдебиеттеріне 1935 жылы Ханс Бета енгізді. Мұндай графикте әрбір түйін z көршімен байланысады; z саны сала бойынша координациялық сан немесе дәреже деп аталады. Өзінің ерекше топологиялық құрылымының арқасында, осы графиктегі тор модельдерінің статистикалық механикасын басқа торларға қарағанда шешу әдетте оңайырақ. Шешімдер осы жүйелер үшін жиі қолданылатын Бета әдісімен байланысты.
Негізгі қасиеттері
Бета торларымен жұмыс істегенде, графиктің жергілікті қасиеттерін қарастырғанда анықталған төбеге түбір деп белгі қою жиі қолайлы болады, оны анықтамалық нүкте ретінде пайдалануға болады.
Қабаттардың өлшемі
Бір төбе тамыр ретінде белгіленгеннен кейін, қалған төбелерді тамырдан алшақтығына қарай қабаттарға топтастыра аламыз. Тамырдан *d* алшақтықтағы төбелер саны *k* тең, себебі тамырдан басқа әр төбе тамырдан бір бірлік артық алшақтықтағы *k* төбеге тікелей қосылған, ал тамыр 1 бірлік алшақтықтағы *k* төбеге тікелей қосылған.
Статистикалық механикада
Бета торы статистикалық механикада негізінен қызығушылық тудырады, себебі Бета торындағы торлық модельдерді екі өлшемді квадрат тор сияқты басқа торларға қарағанда шешу жиі оңайырақ болады. Бұл циклдардың болмауы күрделі өзара әрекеттесулердің кейбіреулерін жойғандықтан туындайды. Бета торы физикалық материалдардағы өзара әрекеттесуді басқа торлар сияқты дәл бейнелемесе де, пайдалы түсініктер беруге қабілетті.
Кездейсоқ жүріп өтудің қайтару ықтималдығы
Берілген нүктеден басталатын, дәрежесі бар Беттің торы бойынша кездейсоқ қозғалыстың соңында сол нүктеге оралу ықтималдығы келесімен беріледі. Мұны көрсету үшін, бастапқы нүктеден қашықтығы болса, бастапқы нүктеге оралу ықтималдығын деп белгілейік. Бізде барлық үшін келесі рекурренттік қатынас бар:
, себебі бастапқы нүктеден басқа әр орналасқан жерде бастапқы нүктеден алыстату үшін қабырға және оған қарай 1 қабырға бар. Бұл теңдеуді барлық бойынша қоссақ, келесіні аламыз:
Бізде , себебі бұл біз бастапқы нүктеге оралғанымызды көрсетеді, сондықтан , бұл бізге қажетті мән. Бұл екі өлшемді шаршы тордағы кездейсоқ қозғалыс жағдайынан өте өзгеше екенін атап өтіңіз, оның оралу ықтималдығы 1-ге тең. Мұндай тор 4-ке реттелген, бірақ 4-ке реттелген Беттің торының оралу ықтималдығы 1/3-ке тең.
Жабық жүрістер саны
Бета желісінің берілген төбесінен басталатын, *k* дәрежелі жабық жүріс санын төменгі шектен оңай бағалауға болады. Әр қадамды бастапқы төбеден алыстау (сыртқа қарай) немесе жақындау (ішке қарай) деп қарастыра отырып, *n* ұзындығындағы кез келген жабық жүрісте дәл *n/2* сыртқа қарай және *n/2* ішке қарай қадам болуы керек екенін көреміз. Сондай-ақ, кез келген сәтте сыртқа қарай жасалған қадамдардың саны ішке қарай жасалған қадамдардың санын аспауы тиіс, сондықтан қадам бағыттарының (*ішке* немесе *сыртқа*) тізбектерінің саны *n/2*-інші Каталан санымен беріледі. Әр сыртқа қарай жасалған қадам үшін кем дегенде *k* таңдау бар, ал әр ішке қарай жасалған қадам үшін әрқашан дәл 1 таңдау бар, сондықтан жабық жүріс саны кем дегенде *k^(n/2)*.
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
Бұл шектеу нақты емес, себебі бастапқы төбеден сыртқа қарай жасалған қадам үшін *k* таңдау бар, бұл жүріс барысында бастапқыда да, кейін де кез келген санда болуы мүмкін. Жүріс санын дәл есептеу қиын, ол келесі формуламен беріледі:
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
қайда *₂F₁* – Гаусс гипергеометриялық функциясы. Осы фактіні пайдаланып, *k*-тұрақты графиктің екінші ең үлкен өзіндік мәнін бағалауға болады. *V* төбесі бар *k*-тұрақты графты және оның *A* жабыстық матрицасын қарастырайық. Онда *Aⁿ* ұзындығы *n* болатын жабық жүріс санын көрсетеді. *V* төбесіндегі жабық жүріс саны, *k* дәрежелі Бета желісіндегі белгілі бір төбеден басталатын жабық жүріс санынан кем дегенде *k^(n/2)* есе көп, өйткені Бета желісіндегі жүрістерді *V* төбесінен басталатын және тек бұрын басып өткен жолдармен ғана қайта оралатын *k*-тұрақты графтың жүрістеріне бейімдеуге болады. *k*-тұрақты графта көбінесе көп жүрістер болады, себебі қосымша жүрістер жасау үшін циклдарды пайдалануға болады. *A* матрицасының ең үлкен өзіндік мәні *k* тең, ал екінші ең үлкен өзіндік мәні *λ* болса, онда:
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
Бұл келесіге әкеледі: *λ ≤ k*. *n* өскенде, *k* өте жылдам өсе алатынын ескере отырып, екінші ең үлкен өзіндік мәні *λ ≤ k* болатын *k*-тұрақты графтардың саны шектеулі екенін көруге болады, кез келген *k* үшін. Бұл *(n,d,λ)* графтарын зерттеуде өте қызықты нәтиже.
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
Кейли графиктері мен Кейли ағаштарымен байланысы
Жұп координациялық саны 2n болатын Бете графигі, n ранктік еркін топтың еркін генерациялық жиынға қатысты бағдарланбаған Кейли графигіне изоморфты.
Ли топтарындағы торлар
Бет торлары кейбір гиперболалық Ли топтарының дискретті кіші топтары ретінде де кездеседі, мысалы, Фуксиан топтары. Осыған байланысты, олар Ли тобындағы тордың анықтамасына сәйкес торлар болып табылады.