Введение
В статистической механике и математике решетка Бете (также называемая регулярным деревом) — это бесконечный связный ациклический граф, в котором все вершины имеют одинаковое число соседей. Решетка Бете была введена в физическую литературу Гансом Бете в 1935 году. В таком графе каждый узел соединен с z соседями; число z называется координационным числом или степенью, в зависимости от области применения. Благодаря своей специфической топологической структуре, статистическая механика решеточных моделей на этом графе часто проще решается, чем на других решетках. Решения связаны с часто используемым методом Бете для этих систем.
Основные свойства
При работе с решеткой Бете часто удобно выделить некоторую вершину в качестве корня, чтобы использовать её как точку отсчета при рассмотрении локальных свойств графа.
Размеры слоев
Когда вершина обозначена как корень, мы можем группировать остальные вершины по слоям, основываясь на их расстоянии от корня. Количество вершин на расстоянии *d* от корня равно *k*, поскольку каждая вершина, кроме корня, смежна с *k* вершинами на расстоянии на единицу большем от корня, а корень смежен с *k* вершинами на расстоянии 1.
В статистической механике
Решетка Бете представляет интерес для статистической механики главным образом потому, что модели решетки на решетке Бете часто проще решить, чем на других решетках, таких как двумерная квадратная решетка. Это обусловлено тем, что отсутствие циклов исключает некоторые из более сложных взаимодействий. Хотя решетка Бете не так точно отражает взаимодействия в физических материалах, как другие решетки, она все же может дать полезные сведения.
Вероятность возврата случайного хождения
Вероятность того, что случайное блуждание по решетке Бетта степени *k*, начинающееся с заданной вершины, в конечном итоге вернется в эту вершину, равна. Чтобы это показать, обозначим *P<sub>n</sub>* вероятность возвращения в исходную точку, если мы находимся на расстоянии *n*. У нас есть рекуррентное соотношение
для всех *n*, поскольку в каждой вершине, отличной от начальной, имеется *k* ребер, уходящих от начальной вершины, и 1 ребро, ведущее к ней. Суммируя это уравнение по всем *n*, получаем
У нас есть *P<sub>0</sub>* = 1, так как это означает, что мы только что вернулись в начальную вершину, то есть *P<sub>0</sub>* = 1, что и требовалось найти. Следует отметить, что это резко контрастирует со случаем случайных блужданий на двумерной квадратной решетке, которая, как известно, имеет вероятность возврата 1. Такая решетка является 4-регулярной, но 4-регулярная решетка Бетта имеет вероятность возврата 1/3.
Количество закрытых прогулок
Можно легко оценить снизу количество замкнутых путей длины, начинающихся с заданной вершины решетки Бете со степенью. Рассматривая каждый шаг как шаг наружу (от начальной вершины) или шаг внутрь (к начальной вершине), мы видим, что любой замкнутый путь длины должен иметь ровно шагов наружу и шагов внутрь. Кроме того, в любой момент времени количество шагов внутрь не может превышать количество шагов наружу, поэтому количество последовательностей направлений шагов (внутрь или наружу) задается -м числом Каталана. Для каждого шага наружу есть по крайней мере один выбор, а для каждого шага внутрь – ровно один выбор, следовательно, количество замкнутых путей составляет не менее.
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
Эта оценка не является точной, поскольку для шага наружу от начальной вершины существует на самом деле выбора, что происходит в начале и любое количество раз в процессе пути. Точное количество путей вычислить сложнее, и оно задается формулой
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
где – гауссова гипергеометрическая функция. Мы можем использовать этот факт для оценки второго по величине собственного значения -регулярного графа. Пусть – -регулярный граф с вершинами, а – его матрица смежности. Тогда – количество замкнутых путей длины. Количество замкнутых путей на как минимум в раз больше, чем количество замкнутых путей на решетке Бете со степенью, начинающихся с определенной вершины, поскольку мы можем сопоставить пути на решетке Бете путям на , начинающимся в заданной вершине и возвращающимся только по уже пройденным путям. Часто на существует больше путей, поскольку можно использовать циклы для создания дополнительных путей. Наибольшее собственное значение равно , а пусть – второе по величине по модулю собственное значение. Тогда
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
Это дает. Замечая, что при росте , мы можем позволить расти намного быстрее, чем , чтобы увидеть, что существует лишь конечное число -регулярных графов, для которых второе по величине по модулю собственное значение не превышает , для любого . Это довольно интересный результат в изучении (n, d, λ)-графов.
This bound is not tight, as there are actually choices for an outward step from the starting vertex, which happens at the beginning and any number of times during the walk. The exact number of walks is trickier to compute, and is given by the formula
where is the Gauss hypergeometric function. We may use this fact to bound the second largest eigenvalue of a regular graph. Let be a regular graph with vertices, and let be its adjacency matrix. Then is the number of closed walks of length The number of closed walks on is at least times the number of closed walks on the Bethe lattice with degree starting at a particular vertex, as we can map the walks on the Bethe lattice to the walks on that start at a given vertex and only go back on paths that were already tread. There are often more walks on , as we can make use of cycles to create additional walks. The largest eigenvalue of is , and letting be the second largest absolute value of an eigenvalue, we have
This gives Noting that as grows, we can let grow much faster than to see that there are only finitely many regular graphs for which the second largest absolute value of an eigenvalue is at most , for any This is a rather interesting result in the study of (n,d,λ) graphs.
Связь с графами Кейли и деревьями Кейли
Граф Бете с четным числом координации 2n изоморфен неориентированному графу Кейли свободной группы ранга n относительно свободного образующего множества.
Сетки в группах Ли
Решетки Бете также возникают как дискретные подгруппы определенных гиперболических групп Ли, таких как группы Фукса. Таким образом, они также являются решетками в смысле решетки в группе Ли.