Жюль Ришардың парадоксы және математикалық логикадағы маңыздылығы

Кіріспе

Француз математигі Жюль Рихард (12 тамыз 1862 – 14 қазан 1956) – негізінен геометрия саласында жұмыс істеген француз математигі, алайда оның есімі ең көп Рихард парадоксымен байланысты.

Ричард парадоксы

Парадокс алғаш рет 1905 жылы «Жалпы ғылымдар мен қолданбалы ғылымдар» журналының директоры Луи Оливьеге жазған хатында айтылды. Ол 1905 жылы «Математика қағидалары және жиындар мәселесі» мақаласында жарияланды. Альфред Норт Уайтхед пен Бертран Расселдің «Principia Mathematica» еңбегінде ол өзін-өзі сілтеу мәселесіне қатысты тағы алты парадокспен бірге келтірілген. Математикалық логиканың ең маңызды жинақтарының бірі, Жан ван Хейеноорт құрастырған кітапта Ричардтың мақаласы ағылшын тіліне аударылған. Парадокс Кантордың диагональдық аргументін қолдану ретінде түсіндірілуі мүмкін. Ол Курт Гёдель мен Алан Тьюрингтің атақты еңбектеріне түрткі болды. Курт Гёдель өзінің толымсыздық теоремасын Ричард парадоксымен аналогты деп есептеді, ол бастапқы нұсқасында былай баяндалады:

E жиынтығы – шекті сандар тізбегімен анықталуы мүмкін нақты сандардың жиынтығы болсын. Бұл жиынтық санауға болады. E жиынтығының n-ші санының n-ші ондық таңбасын p деп белгілейік; біз N санын құрамыз, егер p 8 немесе 9-ға тең болмаса, онда бүтін бөлігі 0, ал n-ші ондық таңбасы p + 1 болады, ал керісінше жағдайда 1 болады. Бұл N саны E жиынтығына жатпайды, өйткені ол осы жиынтықтың кез келген санынан, атап айтқанда n-ші саннан n-ші таңбасымен ерекшеленеді. Бірақ N саны шекті сандар тізбегімен анықталды. Демек, ол E жиынтығына жатуы керек. Бұл қайшылық. Ричард өзінің парадоксын басқа формада ұсынған жоқ, бірақ содан бері бірнеше түрлі нұсқалар пайда болды, олардың кейбіреулері түпнұсқамен тым байланыссыз. Толықтық үшін оларды осы жерде келтіруге болады.

Ричард парадоксының басқа нұсқалары

(А) Уайтхед пен Расселдің Principia Mathematica-да келтірілген нұсқасы Ричардтың бастапқы нұсқасына ұқсас, алайда толыққанды дәл емес. Мұнда тек 9 саны 0 санымен алмастырылады, сондықтан 1.000 = 0.999 сияқты теңдіктер нәтижені бұзуы мүмкін. (Б) Берридің парадоксы, алғаш рет Principia Mathematica-да жеті парадокстың біреуі ретінде айтылған, Бодли кітапханасының Г.Г. Берри мырзасына жатқызылады. Ол он тоғыз буыннан кем емес ең кіші бүтін санды пайдаланады; шындығында, ағылшын тілінде ол 111,777-ні білдіреді. Бірақ "он тоғыздан кем буынмен атауға болмайтын ең кіші бүтін сан" өзінің он сегіз буыннан тұратын атауы болып табылады; демек, он тоғыздан кем буынмен атауға болмайтын ең кіші бүтін сан он сегіз буынмен аталуы мүмкін, бұл қайшылыққа әкеледі. (С) Берридің парадоксы, буынның орнына әріптермен қарастырылғанда, 100 әріптен (немесе басқа кез келген үлкен саннан) кем анықталатын барлық натурал сандар жиынымен байланысты. Натурал сандар жақсы реттелген жиын болғандықтан, 100 әріптен кем анықталмайтын ең кіші сан болуы керек. Бірақ бұл сан 65 әріппен анықталды. (D) Кениг парадоксы да 1905 жылы Юлиус Кениг жариялаған. Шекті сандағы сөздермен анықталатын барлық нақты сандар нақты сандардың ішкі жиынын құрайды. Егер нақты сандарды жақсы реттеуге болады десек, онда шекті сандағы сөздермен анықталмайтын бірінші нақты сан болуы керек (осы рет бойынша). Бірақ шекті сандағы сөздермен анықталмайтын бірінші нақты санның өзі шекті санда анықталды. (Е) Ең кішкентай натурал сан, қызықты қасиеттері болмағандықтан, осы қасиетсіздігі арқасында қызықты қасиетке ие болады. (F) Греллинг пен Нельсонның парадоксынан алынған. Барлық шекті анықтамалардың саны санауға болады. Лексикалық тәртіп бойынша біз D1, D2, D3 анықтамалар тізбесін аламыз. Енді, мүмкін, бір анықтама өзінің нөмірін анықтайды. Бұл D1 "ең кішкентай натурал сан" деп оқылса, орын алады. Бір анықтама өзінің нөмірін сипаттамауы мүмкін. Бұл D2 "ең кішкентай натурал сан" деп оқылса, орын алады. Сондай-ақ "бұл анықтама оның нөмірін сипаттамайды" деген сөйлем де шекті анықтама болып табылады. Ол Dn болсын. n, Dn арқылы сипаттала ма? Егер олай болса, онда жоқ, егер олай болмаса, онда иә. Бұл дилемманы шешу мүмкін емес. (Бұл нұсқа басқа мақалада, Ричард парадоксінде толығырақ сипатталған.)

(A) The version given in Principia Mathematica by Whitehead and Russell is similar to Richard's original version, alas not quite as exact. Here only the digit 9 is replaced by the digit 0, such that identities like 1.000 = 0.999 can spoil the result. (B) Berry's Paradox, first mentioned in the Principia Mathematica as fifth of seven paradoxes, is credited to Mr. G. G. Berry of the Bodleian Library. It uses the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables; in fact, in English it denotes 111,777. But "the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables" is itself a name consisting of eighteen syllables; hence the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables can be named in eighteen syllables, which is a contradiction

(C) Berry's Paradox with letters instead of syllables is often related to the set of all natural numbers which can be defined by less than 100 (or any other large number) letters. As the natural numbers are a well ordered set there must be the least number which cannot be defined by less than 100 letters. But this number was just defined by 65 letters including spaces. (D) König's Paradox was also published in 1905 by Julius König. All real numbers which can be defined by a finite number of words form a subset of the real numbers. If the real numbers can be well ordered, then there must be a first real number (according to this order) which cannot be defined by a finite number of words. But the first real number which cannot be defined by a finite number of words has just been defined by a finite number of words. (E) The smallest natural number without interesting properties acquires an interesting property by this very lack of any interesting properties. (F) A loan of the Paradox of Grelling and Nelson. The number of all finite definitions is countable. In lexical order we obtain a sequence of definitions D1, D2, D3, Now, it may happen that a definition defines its own number. This would be the case if D1 read "the smallest natural number". It may happen, that a definition does not describe its own number. This would be the case if D2 read "the smallest natural number". Also the sentence "this definition does not describe its number" is a finite definition. Let it be Dn. Is n described by Dn. If yes, then no, and if no, then yes. The dilemma is irresolvable. (This version is described in more detail in another article, Richard's paradox.)

Ричард парадоксы туралы әдебиет

H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor хаттары, Sphinhubyringer, Берлин, 1991 ж., 446-бет. W. Mückenheim: Шексіздіктің математикасы, Shaker, Aachen, 2006. A. N. Whitehead, B. Russell: Principia Mathematica I, Кембридж университеті баспасы, Кембридж, 1910 ж., 64-бет. E. Zermelo: "Жақсы реттелу мүмкіндігінің жаңа дәлелі", Math. Ann. 65 (1908) 107–128.