Парадокс Ришара и связанные с ним парадоксы в математике

Введение

Французский математик Жюль Ришар (12 августа 1862 – 14 октября 1956) был французским математиком, работавшим преимущественно в области геометрии, но наиболее известен он парадоксом Ришара.

Парадокс Ричарда

Парадокс был впервые сформулирован в 1905 году в письме к Луи Оливье, директору Revue générale des sciences pures et appliquées. Он был опубликован в 1905 году в статье Les Principes des mathématiques et le problème des ensembles. В работе Principia Mathematica Альфреда Норта Уайтхеда и Бертранда Рассела он цитируется вместе с шестью другими парадоксами, касающимися проблемы самоссылки. В одном из наиболее значимых сборников по математической логике, составленном Жаном ван Хейеноортом, статья Ричарда переведена на английский язык. Парадокс можно интерпретировать как применение диагонального аргумента Кантора. Он вдохновил Курта Гёделя и Алана Тьюринга на создание их знаменитых работ. Курт Гёдель рассматривал свою теорему о неполноте как аналогичную парадоксу Ричарда, который в оригинальной формулировке выглядит следующим образом:

Пусть E – множество действительных чисел, которые могут быть определены конечным числом слов. Это множество счетно. Пусть p – n-я десятичная цифра n-го числа из множества E; мы формируем число N, у которого целая часть равна нулю, а n-я десятичная цифра равна p + 1, если p не равно 8 или 9, и единице в противном случае. Это число N не принадлежит множеству E, поскольку оно отличается от любого числа в этом множестве, а именно от n-го числа в n-й цифре. Но N определено конечным числом слов, следовательно, оно должно принадлежать множеству E. Это противоречие. Ричард никогда не представлял свой парадокс в другой форме, однако существует несколько различных версий, некоторые из которых лишь отдалённо связаны с оригиналом. Для полноты их можно привести здесь.

Другие версии парадокса Ричарда

(А) Версия, представленная в Principia Mathematica Уайтхедом и Расселом, похожа на оригинальную версию Ричарда, но, к сожалению, не столь точна. В ней цифра 9 заменена на цифру 0, из-за чего тождества вроде 1.000 = 0.999 могут приводить к неверному результату. (Б) Парадокс Берри, впервые упомянутый в Principia Mathematica как пятый из семи парадоксов, приписывается г-ну Г. Г. Берри из Бодлианской библиотеки. Он использует наименьшее целое число, которое нельзя назвать менее чем девятнадцатью слогами; фактически, на английском языке оно обозначает 111 777. Однако "наименьшее целое число, которое нельзя назвать менее чем девятнадцатью слогами" само по себе является именем, состоящим из восемнадцати слогов; следовательно, наименьшее целое число, которое нельзя назвать менее чем девятнадцатью слогами, можно назвать восемнадцатью слогами, что является противоречием. (В) Парадокс Берри, рассматриваемый с использованием букв вместо слогов, часто связывают с множеством всех натуральных чисел, которые можно определить менее чем 100 (или любым другим большим числом) буквами. Поскольку натуральные числа являются вполне упорядоченным множеством, должно существовать наименьшее число, которое нельзя определить менее чем 100 буквами. Но это число было определено всего 65 буквами, включая пробелы. (Г) Парадокс Кёнига также был опубликован в 1905 году Юлиусом Кёнигом. Все действительные числа, которые можно определить конечным числом слов, образуют подмножество действительных чисел. Если действительные числа можно вполне упорядочить, то должно существовать первое действительное число (в соответствии с этим порядком), которое нельзя определить конечным числом слов. Но первое действительное число, которое нельзя определить конечным числом слов, было только что определено конечным числом слов. (Д) Наименьшее натуральное число, лишенное интересных свойств, приобретает интересное свойство именно благодаря этому отсутствию каких-либо интересных свойств. (Е) Заимствование парадокса Греллинга — Нельсона. Количество всех конечных определений счетно. В лексикографическом порядке мы получаем последовательность определений D1, D2, D3… Теперь может случиться, что определение определяет свой собственный номер. Это будет так, если D1 будет звучать как "наименьшее натуральное число". Может случиться, что определение не описывает свой собственный номер. Это будет так, если D2 будет звучать как "наименьшее натуральное число". Также предложение "это определение не описывает свой номер" является конечным определением. Пусть это будет Dn. Описывается ли n определением Dn? Если да, то нет, а если нет, то да. Эта дилемма неразрешима. (Эта версия описана более подробно в другой статье, парадокс Ричарда.)

(A) The version given in Principia Mathematica by Whitehead and Russell is similar to Richard's original version, alas not quite as exact. Here only the digit 9 is replaced by the digit 0, such that identities like 1.000 = 0.999 can spoil the result. (B) Berry's Paradox, first mentioned in the Principia Mathematica as fifth of seven paradoxes, is credited to Mr. G. G. Berry of the Bodleian Library. It uses the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables; in fact, in English it denotes 111,777. But "the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables" is itself a name consisting of eighteen syllables; hence the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables can be named in eighteen syllables, which is a contradiction

(C) Berry's Paradox with letters instead of syllables is often related to the set of all natural numbers which can be defined by less than 100 (or any other large number) letters. As the natural numbers are a well ordered set there must be the least number which cannot be defined by less than 100 letters. But this number was just defined by 65 letters including spaces. (D) König's Paradox was also published in 1905 by Julius König. All real numbers which can be defined by a finite number of words form a subset of the real numbers. If the real numbers can be well ordered, then there must be a first real number (according to this order) which cannot be defined by a finite number of words. But the first real number which cannot be defined by a finite number of words has just been defined by a finite number of words. (E) The smallest natural number without interesting properties acquires an interesting property by this very lack of any interesting properties. (F) A loan of the Paradox of Grelling and Nelson. The number of all finite definitions is countable. In lexical order we obtain a sequence of definitions D1, D2, D3, Now, it may happen that a definition defines its own number. This would be the case if D1 read "the smallest natural number". It may happen, that a definition does not describe its own number. This would be the case if D2 read "the smallest natural number". Also the sentence "this definition does not describe its number" is a finite definition. Let it be Dn. Is n described by Dn. If yes, then no, and if no, then yes. The dilemma is irresolvable. (This version is described in more detail in another article, Richard's paradox.)

Литература о парадоксах Ричарда

Х. Мешковски, В. Нильсон: Georg Cantor. Письма, Sphinhubyringer, Берлин, 1991, с. 446. В. Муккенхайм: Математика бесконечного, Shaker, Аахен, 2006. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел: Principia Mathematica I, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1910, с. 64. Э. Цермело: Новое доказательство возможности хорошего упорядочения, Math. Ann. 65 (1908) с. 107–128.