Кіріспе
Модульдік арифметикадағы нәтиже
Математикада Хензель леммасы, сондай-ақ Хензельдің көтеру леммасы деп аталатын бұл лемма, модульдік арифметикадағы нәтиже болып табылады. Егер біртұрақты көпмүше модуль бойынша жай түбірге ие болса, онда бұл түбірді p-нің кез келген жоғары дәрежесі бойынша бірегей түбірге көтеруге болады. Көбірек айтқанда, егер көпмүше p модуль бойынша екі өзара жай көпмүшеге жіктелсе, онда бұл жіктелу p-нің кез келген жоғары дәрежесі бойынша жіктелуге көтеріледі (түбірлердің жағдайы жіктелудің бірі үшін 1-дәрежеге сәйкес келеді). p-нің дәрежесі шексізге ұмтылғанда ("шекке" өту, бұл шындығында кері шек болып табылады), p модуль бойынша түбір немесе жіктелу p-адық бүтін сандардағы түбірге немесе жіктелуге көтеріледі. Бұл нәтижелер, сол атпен, кез келген коммутативті сақинадағы көпмүшелерге қатысты кеңінен жалпыландырылды, онда p идеалмен алмастырылады, ал "өзара жай көпмүшелер" дегеніміз "1-ді қамтитын идеалды тудыратын көпмүшелер" дегенді білдіреді. Хензель леммасы p-адық талдаудағы негізгі құрал болып табылады, бұл аналитикалық сандар теориясының бір саласы. Хензель леммасының дәлелі конструктивті болып табылады және Хензель көтеруіне арналған тиімді алгоритмге әкеледі, ол көпмүшелерді жіктеу үшін маңызды және рационал сандар бойынша нақты сызықтық алгебра үшін ең тиімді белгілі алгоритмді ұсынады.
In mathematics, Hensel's lemma, also known as Hensel's lifting lemma, named after Kurt Hensel, is a result in modular arithmetic, stating that if a univariate polynomial has a simple root modulo a prime number p, then this root can be lifted to a unique root modulo any higher power of p. More generally, if a polynomial factors modulo p into two coprime polynomials, this factorization can be lifted to a factorization modulo any higher power of p (the case of roots corresponds to the case of degree 1 for one of the factors). By passing to the "limit" (in fact this is an inverse limit) when the power of p tends to infinity, it follows that a root or a factorization modulo p can be lifted to a root or a factorization over the p adic integers. These results have been widely generalized, under the same name, to the case of polynomials over an arbitrary commutative ring, where p is replaced by an ideal, and "coprime polynomials" means "polynomials that generate an ideal containing 1". Hensel's lemma is fundamental in p adic analysis, a branch of analytic number theory. The proof of Hensel's lemma is constructive, and leads to an efficient algorithm for Hensel lifting, which is fundamental for factoring polynomials, and gives the most efficient known algorithm for exact linear algebra over the rational numbers.
Модульді азайту және көтеру
Хенселдің бастапқы леммасы бүтін сандардағы және п және оның дәрежелеріне қатысты бүтін сандарды модуль бойынша факторлау арақатынасын қарастырады. Оны тікелей, бүтін сандарды кез келген коммутативтік сақинамен алмастырып, ал p-ні кез келген максималды идеалмен алмастыру арқылы кеңейтуге болады (әрине, максималды идеалдардың түрі p – жай сан болғандағыдай). Бұл туралау үшін модульдік арифметиканы жалпылау қажет, сондықтан осы контексте қолданылатын терминологияны дәл анықтау пайдалы. R – коммутативтік сақина болсын, ал I – R сақинасының идеалы. I модулі бойынша азайту – R сақинасының әрбір элементін канондық бейнелеу арқылы алмастыруды білдіреді. Мысалы, егер f – R сақинасының коэффициенттерімен берілген полином болса, оның I модулі бойынша азайтылуы – f полиномының коэффициенттерін олардың I бойынша бейнелерімен алмастыру арқылы алынған полином болады. Егер f және g полиномдарының I модулі бойынша коэффициенттері бірдей болса, яғни , онда олар I модулі бойынша конгруэнтті деп айтылады. I модулі бойынша h-ның факторлануы – g полиномдарының екі (немесе одан да көп) полиномнан тұрады. Көтеру процесі – азайту процесіне кері. Яғни, берілген объектілер R сақинасының элементтеріне тәуелді болса, көтеру процесі осы элементтерді R (немесе кейбір k > 1 үшін ) элементтерімен алмастырады, бұл элементтер объектілердің қасиеттерін сақтайды. Мысалы, егер f полиномы және I модулі бойынша факторлану берілсе, осы факторлануды көтеру – f және g полиномдарын табудан тұрады, мұндағы және . Хенсел леммасы осындай көтерудің белгілі бір оңай шарттар орындалғанда әрқашан мүмкін екенін көрсетеді; келесі бөлімді қараңыз.
The lifting process is the inverse of reduction. That is, given objects depending on elements of the lifting process replaces these elements by elements of (or of for some k > 1) that maps to them in a way that keeps the properties of the objects. For example, given a polynomial and a factorization modulo I expressed as lifting this factorization modulo consists of finding polynomials such that and Hensel's lemma asserts that such a lifting is always possible under mild conditions; see next section.
Қарапайым тамырларды көтеру
Маңызды ерекше жағдай – егер . Бұл жағдайда копримальдық гипотеза r-дың функцияның қарапайым түбірі екенін білдіреді. Бұл Хензель леммасының келесі ерекше жағдайын береді, оны көбінесе Хензель леммасы деп те атайды. Жоғарыдағы гипотезалар мен белгілеулер бойынша, егер r функцияның қарапайым түбірі болса, онда r-ды әрбір оң бүтін сан үшін бірегей түрде функцияның қарапайым түбіріне көтеруге болады. Нақтырақ айтқанда, әрбір оң бүтін сан үшін, мұндай бірегей болады, осылайша және функцияның қарапайым түбірі болады.
Дәлел
Хенсел леммасы, әдетте, факторлауды факторлауға (Сызықты көтеру) немесе факторлауға (Квадраттық көтеру) көтеру арқылы кезең-кезеңімен дәлелденеді. Дәлелдің негізгі бөлігі – өрістегі өзара жай көпмүшелер Безоут теңбе-теңдігін қанағаттандырады. Яғни, егер f және g – өрістегі (мұнда) өзара жай бірмүшелі көпмүшелер болса, онда a және b көпмүшелері бар, олар үшін және
Безоут теңбе-теңдігі өзара жай көпмүшелерді анықтауға және идеал максималды болмаса да, Хензел леммасын дәлелдеуге мүмкіндік береді. Сондықтан келесі дәлелдемелерде R коммутативті сақинасынан басталады, I – идеал, I модулі бойынша инверттенетін жетекші коэффициенті бар көпмүше (яғни, оның - дағы бейнесі – бірлік), және h көпмүшесінің I модулі бойынша немесе I күші бойынша факторлануы, мұнда факторлар I модулі бойынша Безоут теңбе-теңдігін қанағаттандырады. Бұл дәлелдемелерде дегеніміз –
Бірліктің негізі
Бірліктің p-ші түбірлері құрамында болмаса да, түйіннің шешімдері бар. Ешқашан нөлге тең болмайтындықтан, егер шешім болса, ол міндетті түрде көтеріледі. Фробениус барлық нөлдік емес элементтерді береді, сондықтан олардың бәрі де шешімдер болып табылады. Шындығында, бұл - құрамындағы бірліктің жалғыз түбірлері.
is never zero, so if there exists a solution, it necessarily lifts to Because the Frobenius gives all of the non zero elements are solutions. In fact, these are the only roots of unity contained in .
Қарым-қатынас ұғымдары
Сақинаның толықтығы, сақинаның Хенсельдік қасиетке ие болуы үшін міндетті шарт емес: Горо Азумая 1950 жылы максималды идеал m-ге қатысты Хенсельдік қасиетті қанағаттандыратын коммутативті жергілікті сақинаны Хенсельдік сақина деп анықтады. Масаёши Нагата 1950-ші жылдары кез келген коммутативті жергілікті сақина А үшін максималды идеал m-ге қатысты ең кішкентай сақина Аh бар екенін дәлелдеді, мұнда Аh, mАh-қа қатысты Хенсельдік болады. Бұл Аh, А-ның Хензелизациясы деп аталады. Егер А ноэтериан болса, Аh да ноэтериан болады, және Аh эталь аймақтарының лиміті ретінде құрылғандықтан, анық алгебралық болып табылады. Бұл Аh әдетте Â-дан әлдеқайда кіші, бірақ Хенсельдік қасиетті сақтайды және сол санатта қалады дегенді білдіреді.