Введение

Результат в модульной арифметике
В математике, лемма Хенселя, также известная как лемма подъема Хенселя, названная в честь Курта Хенселя, является результатом в модульной арифметике, утверждающим, что если унивариантный многочлен имеет простой корень по модулю простого числа p, то этот корень можно поднять до единственного корня по модулю любой более высокой степени p. В более общем случае, если многочлен разлагается по модулю p на два взаимно простых многочлена, это разложение можно поднять до разложения по модулю любой более высокой степени p (случай корней соответствует случаю степени 1 для одного из множителей). Переходя к "пределу" (фактически, это обратный предел), когда степень p стремится к бесконечности, следует, что корень или разложение по модулю p можно поднять до корня или разложения над p-адическими целыми числами. Эти результаты были широко обобщены под тем же названием на случай многочленов над произвольным коммутативным кольцом, где p заменяется идеалом, а "взаимно простые многочлены" означает "многочлены, порождающие идеал, содержащий 1". Лемма Хенселя является фундаментальной в p-адическом анализе, ветви аналитической теории чисел. Доказательство леммы Хенселя конструктивно и приводит к эффективному алгоритму подъема Хенселя, который является фундаментальным для разложения многочленов на множители и дает наиболее эффективный известный алгоритм для точной линейной алгебры над рациональными числами.

Модульное снижение и подъем

Оригинальная лемма Хенселя касается связи между разложением многочленов на множители над целыми числами и над целыми числами по модулю простого числа p и его степеней. Ее можно непосредственно распространить на случай, когда целые числа заменяются любым коммутативным кольцом, а p заменяется любым максимальным идеалом (действительно, максимальные идеалы имеют вид, где p – простое число). Чтобы это стало точным, требуется обобщение обычной модульной арифметики, поэтому полезно четко определить терминологию, обычно используемую в этом контексте. Пусть R – коммутативное кольцо, а I – идеал в R. Редукция по модулю I – это замена каждого элемента R его образом при каноническом отображении. Например, если f – многочлен с коэффициентами в R, то его редукция по модулю I, обозначаемая , – это многочлен, полученный заменой коэффициентов f их образами в. Два многочлена f и g в R сравнимы по модулю I, обозначается , если они имеют одинаковые коэффициенты по модулю I, то есть если. Факторизация h по модулю I состоит из двух (или более) многочленов f, g в R таких, что.

Процесс подъема является обратным процессу редукции. То есть, для объектов, зависящих от элементов, процесс подъема заменяет эти элементы элементами (или для некоторого k > 1), которые отображаются в них таким образом, чтобы сохранить свойства объектов. Например, дан многочлен f и факторизация по модулю I, выраженная как , подъем этой факторизации по модулю I состоит в нахождении многочленов таких, что и. Лемма Хенселя утверждает, что такой подъем всегда возможен при мягких условиях; см. следующий раздел.

Поднятие простых корней

Важным особым случаем является, когда В этом случае гипотеза о взаимной простоте означает, что r является простым корнем уравнения Это дает следующий частный случай леммы Хенселя, который также часто называют леммой Хенселя. При указанных гипотезах и обозначениях, если r является простым корнем уравнения , то r можно единственным образом поднять до простого корня уравнения для любого положительного целого числа n. Явно, для любого положительного целого числа n существует единственное такое , что и является простым корнем уравнения .

Доказательство

Лемма Хенселя обычно доказывается инкрементно, путем поднятия факторизации из области в область либо к факторизации в области (линейное поднятие), либо к факторизации в области (квадратичное поднятие). Основным элементом доказательства является то, что взаимно простые многочлены над полем удовлетворяют тождеству Безу. То есть, если f и g – взаимно простые однопеременные многочлены над полем (в данном случае ), существуют многочлены a и b такие, что и

Тождество Безу позволяет определить взаимно простые многочлены и доказать лемму Хенселя, даже если идеал I не является максимальным. Поэтому в последующих доказательствах начинают с коммутативного кольца R, идеала I, многочлена h, ведущий коэффициент которого обратим по модулю I (то есть его образ в является единицей в ), и факторизации h по модулю I или по модулю некоторой степени I, такой, что факторы удовлетворяют тождеству Безу по модулю I. В этих доказательствах означает

Корни единства

Хотя p-е корни из единицы не содержатся в , существуют решения уравнения Note. Обратите внимание, что никогда не равно нулю, поэтому, если существует решение, оно обязательно поднимается в . Поскольку Фробениус дает , все ненулевые элементы являются решениями. Фактически, это единственные корни единицы, содержащиеся в .

Связанные понятия

Полнота кольца не является необходимым условием для того, чтобы кольцо обладало свойством Хенселя: Горо Азумайя в 1950 году определил коммутативное локальное кольцо, удовлетворяющее свойству Хенселя относительно максимального идеала m, как кольцо Хенселя. Масаёси Нагата доказал в 1950-х годах, что для любого коммутативного локального кольца A с максимальным идеалом m всегда существует наименьшее кольцо Ah, содержащее A, такое что Ah является Хенселианским относительно mAh. Это кольцо Ah называется хензелизацией A. Если A ноетериан, то Ah также будет ноетерианским, и Ah явно алгебраическим, поскольку оно построено как предел этальных окрестностей. Это означает, что Ah обычно намного меньше, чем завершение Â, при этом сохраняя свойство Хенселя и оставаясь в той же категории.