Кіріспе
Формалды семантикада шындық мәні семантикасы Тарски семантикасына балама болып табылады. Оны негізінен Рут Баркан Маркус, Х. Лебланк және Дж. Майкл Данн мен Нуэль Белнап қолдады. Оны (сандық белгілердің) орнын ауыстыру интерпретациясы немесе орнын ауыстыру сандық өлшеуі деп те атайды. Бұл семантиканың идеясы - универсалды (сәйкесінше, экзистенциалдық) квантификаторды формулалардың конъюнкциясы (сәйкесінше, дизъюнкциясы) ретінде қарастыруға болады, онда константалар квантификатордың қолданыс аймағындағы айнымалыларды алмастырады. Мысалы, -ды тұрақтыларының барлық кездескенін алмастырғанда оқып алуға болады. Шындық мәні семантикасы мен стандартты семантика арасындағы негізгі айырмашылық – шындық мәні семантикасында домендер жоқ. Тек атомдық және квантификациялық формулалардың шындық шарттары стандартты семантикадан өзгешелейді. Стандартты семантикада атомдық формулалар, мысалы, немесе , егер және тек қана (референті) предикаттың кеңейтілімінің мүшесі болса, сәйкесінше, егер және тек қана жұбы кеңейтілімінің мүшесі болса, шын болады. Ал шындық мәні семантикасында атомдық формулалардың шындық мәндері бастапқы болып табылады. Универсалды (экзистенциалдық) формула егер және тек қана квантификацияланбаған субформуланың барлық (кейбір) негізгі алмастыру инстанциялары шын болса, шын болады. Мұны стандартты семантикамен салыстырыңыз, онда универсалды (экзистенциалдық) формула егер және тек қана доменнің барлық (кейбір) мүшелері үшін формула олардың барлығы (кейбірі) үшін шын болса, шын болады; мысалы, (түсіндіру бойынша) егер және тек қана домендегі барлық үшін шын болса, шын болады (мұнда -ның барлық кездескенін алмастыру нәтижесі). (Бұл жерде тұрақтылар өздеріне арналған атаулар деп есептейміз, яғни олар да доменнің мүшелері болып табылады.) Шындық мәні семантикасы өз кемшіліктерінен бос емес. Біріншіден, толықтықтың күшті теоремасы мен ықшамдық принципі орындалмайды. Мұны көру үшін келесі жиынды қарастырайық: . Әрине, формуласы жиынның логикалық салдары болып табылады, бірақ ол оның кез келген шекті ішкі жиынының салдары емес (осылайша ол одан шығарылмайды). Осыдан ықшамдық принципі де, күшті толықтық теоремасы да шындық мәні семантикасы үшін орындалмайды деген қорытынды шығады. Бұл мәселе Дунн мен Белнаптың 1968 жылғы еңбегінде келтірілген логикалық салдардың өңделген анықтамасымен шешіледі. Тағы бір мәселе бос логикада туындайды. Бір жеке тұрақтысы бар, белгіленбейтін және "жоқ" дегенді білдіретін предикаты бар тілді қарастырайық. Онда жалған болады, тіпті оның алмастыру инстанциясы (әсіресе, осы түсіндіру бойынша әрбір осындай инстанция) шын болса да. Бұл мәселені шешу үшін экзистенциалды түрде квантификацияланған тұжырым шын болады деп қосамыз, егер оның кем дегенде бір алмастыру инстанциясы болса, онда тұрақты бар нәрсені белгілейді.
The main difference between truth value semantics and the standard semantics for predicate logic is that there are no domains for truth value semantics. Only the truth clauses for atomic and for quantificational formulas differ from those of the standard semantics. Whereas in standard semantics atomic formulas like or are true if and only if (the referent of) is a member of the extension of the predicate , respectively, if and only if the pair is a member of the extension of , in truth value semantics the truth values of atomic formulas are basic. A universal (existential) formula is true if and only if all (some) ground substitution instances of the unquantified subformula are true. Compare this with the standard semantics, which says that a universal (existential) formula is true if and only if for all (some) members of the domain, the formula holds for all (some) of them; for example, is true (under an interpretation) if and only if for all in the domain , is true (where is the result of substituting for all occurrences of in ). (Here we are assuming that constants are names for themselves—i. e. they are also members of the domain.) Truth value semantics is not without its problems. First, the strong completeness theorem and compactness fail. To see this consider the set Clearly the formula is a logical consequence of the set, but it is not a consequence of any finite subset of it (and hence it is not deducible from it). It follows immediately that both compactness and the strong completeness theorem fail for truth value semantics. This is rectified by a modified definition of logical consequence as given in Dunn and Belnap 1968. Another problem occurs in free logic. Consider a language with one individual constant that is nondesignating and a predicate standing for 'does not exist'. Then is false even though a substitution instance (in fact every such instance under this interpretation) of it is true. To solve this problem we simply add the proviso that an existentially quantified statement is true under an interpretation for at least one substitution instance in which the constant designates something that exists.