Введение

В формальной семантике семантика истинностных значений является альтернативой тарскианской семантике. Её основными сторонниками были Рут Баркан Маркус, Х. Лебланк, Дж. Майкл Данн и Нуэль Белнап. Она также называется интерпретацией подстановки (кванторов) или подстановочной квантификацией. Идея этой семантики заключается в том, что универсальный (соответственно, экзистенциальный) квантор может быть прочитан как конъюнкция (соответственно, дизъюнкция) формул, в которых константы заменяют переменные в области действия квантора. Например, можно прочитать как , где – индивидуальные константы, заменяющие все вхождения в . Основное различие между семантикой истинностных значений и стандартной семантикой для логики предикатов заключается в том, что в семантике истинностных значений нет областей (доменов). Отличаются только условия истинности для атомарных и кванторных формул от условий стандартной семантики. В то время как в стандартной семантике атомарные формулы, такие как или , истинны тогда и только тогда, когда (референт) является элементом расширения предиката , соответственно, тогда и только тогда, когда пара является элементом расширения , в семантике истинностных значений истинностные значения атомарных формул являются базовыми. Универсальная (экзистенциальная) формула истинна тогда и только тогда, когда все (некоторые) экземпляры подстановки на основе неквантифицированной подформулы истинны. Сравните это со стандартной семантикой, которая утверждает, что универсальная (экзистенциальная) формула истинна тогда и только тогда, когда для всех (некоторых) элементов области формула выполняется для всех (некоторых) из них; например, истинна (при интерпретации) тогда и только тогда, когда для всех в области , истинна (где – результат подстановки на все вхождения в ). (Здесь мы предполагаем, что константы являются именами для самих себя, то есть они также являются элементами области.) Семантика истинностных значений не лишена проблем. Во-первых, не выполняются теорема о сильной полноте и теорема о компактности. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество . Очевидно, что формула является логическим следствием этого множества, но она не является следствием какого-либо конечного подмножества (и, следовательно, не выводима из него). Следовательно, и теорема о компактности, и теорема о сильной полноте не выполняются для семантики истинностных значений. Это исправляется модифицированным определением логического следования, как это представлено в Данн и Белнап, 1968. Другая проблема возникает в свободной логике. Рассмотрим язык с одной индивидуальной константой , которая не является обозначающей, и предикатом , обозначающим "не существует". Тогда ложно, хотя экземпляр подстановки (фактически, каждый такой экземпляр при данной интерпретации) является истинным. Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем условие, что экзистенциально квантифицированное утверждение истинно при интерпретации хотя бы для одного экземпляра подстановки, в котором константа обозначает что-то существующее.