Кіріспе
Качмарц әдісі немесе Качмарц алгоритмі – сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге арналған итеративтік алгоритм. Оны алғаш рет поляк математигі Стефан Качмарц ашқан, ал 1970 жылы Ричард Гордон, Роберт Бендер және Габор Герман проекциялардан бейнелерді қайта құру саласында қайта ашқан, онда ол алгебралық қайта құру техникасы (ART) деп аталады. ART позитивтілік шектеуін қосады, бұл оны сызықтық емес етеді. Качмарц әдісі кез келген сызықтық теңдеулер жүйесіне қолданылады, бірақ оның басқа әдістерге қарағандағы есептеулік артықшылығы жүйенің сиректігіне байланысты. Оның кейбір биомедициналық бейнелеу салаларында, мысалы, сүзгіленген кері проекциялау әдісі сияқты басқа әдістерге қарағанда жоғары екендігі көрсетілген. Оның қолданылу аясы кең – компьютерлік томографиядан (КТ) сигналдарды өңдеуге дейін. Оны сызықтық жүйемен сипатталған гипержазықтарға конвекс жиынтықтарға тізбектеп проекция жасау әдісін (POCS) қолдану арқылы да алуға болады.
The Kaczmarz method or Kaczmarz's algorithm is an iterative algorithm for solving linear equation systems It was first discovered by the Polish mathematician Stefan Kaczmarz, and was rediscovered in the field of image reconstruction from projections by Richard Gordon, Robert Bender, and Gabor Herman in 1970, where it is called the Algebraic Reconstruction Technique (ART). ART includes the positivity constraint, making it nonlinear. The Kaczmarz method is applicable to any linear system of equations, but its computational advantage relative to other methods depends on the system being sparse. It has been demonstrated to be superior, in some biomedical imaging applications, to other methods such as the filtered backprojection method. It has many applications ranging from computed tomography (CT) to signal processing. It can be obtained also by applying to the hyperplanes, described by the linear system, the method of successive projections onto convex sets (POCS).
3-алгоритм: Говер-Рихтарик алгоритмі
2015 жылы Роберт М. Говер мен Питер Рихтхарик сызықтық теңдеулердің дәйекті жүйесін шешуге арналған, кездейсоқталған итеративтік әдіс жасады, оның ерекше жағдайы ретінде кездейсоқ Кацмарц алгоритмі қарастырылады. Басқа ерекше жағдайларға кездейсоқ координаталық түсу, кездейсоқ Гаусс түсуі және кездейсоқ Ньютон әдісі жатады. Осы әдістердің барлық блок-нұсқалары мен маңызды үлгілеу нұсқалары да ерекше жағдайлар болып табылады. Әдіс, алгоритмге кездейсоқтық қалай енгізілгеніне байланысты өте жұмсақ шарттарда күтілетін экспоненциалдық жылдамдықпен ыдырайтыны (сызықтық конвергенция деп те аталады) көрсетілген. Говер-Рихтхарик әдісі – бұл әдістер арасындағы "туысқандық" қатынасты ашқан алғашқы алгоритм, олардың кейбіреулері бұрын тәуелсіз түрде ұсынылған, ал көпшілігі жаңа болды.