Кіріспе
Барлық Парето тиімді жағдайлар жиынтығы. Көп мақсатты оңтайландыруда Парето фронты (Парето шекарасы немесе Парето қисығы деп те аталады) – барлық Парето тиімді шешімдер жиынтығы болып табылады. Бұл ұғым инженерлік саласында кеңінен қолданылады. Ол дизайнерге тиімді таңдаулар жиынтығына ғана назар аударуға және әрбір параметрдің толық диапазонын қарастырудың орнына осы жиынтықтағы арақатынастарды (компромисс) жасауға мүмкіндік береді.
In multi objective optimization, the Pareto front (also called Pareto frontier or Pareto curve) is the set of all Pareto efficient solutions. The concept is widely used in engineering. It allows the designer to restrict attention to the set of efficient choices, and to make tradeoffs within this set, rather than considering the full range of every parameter.
Анықтама
Парето шекарасы, P(Y), былай сипатталуы мүмкін. Функциясы бар жүйені қарастырайық, онда X – метрикалық кеңістіктегі мүмкін шешімдердің жинағы, ал Y – критерийлік векторлардың жинағы, осындай болғанда, критерийлік мәндердің қалаулы бағыттары белгілі деп есептейміз. Бір нүкте екінші нүктеге артықшылық танытады (қатаң түрде басым келеді), бұл былай жазылады: Парето шекарасы осылай жазылады:
We assume that the preferred directions of criteria values are known. A point is preferred to (strictly dominates) another point , written as The Pareto frontier is thus written as:
Орналастырудың шекті мөлшерлемесі
Экономикада Парето шекарасының маңызды ерекшелігі – Парето тиімді бөлісте, барлық тұтынушылар үшін маргиналдық алмасу шамасы бірдей болады. Мұндай формалды тұжырымды m тұтынушы және n тауардан тұратын жүйе, сондай-ақ әр тұтынушының пайдалылық функциясын қарастыру арқылы жасауға болады, барлық i үшін тауарлар векторы ретінде: . Іске асылу шектеуі: Парето оңтайлы бөлісті табу үшін Лагранжды максималдаймыз: мұнда және – көбейткіштердің векторлары. Лагранждың әрбір тауарға қатысты ішінара туындысын алу, келесі бірінші реттік шарттар жүйесін береді: мұнда – функцияның ішінара туындысын білдіреді. Енді, кез келген және бекітіп алайық. Жоғарыдағы бірінші реттік шарт мынаны білдіреді: Осылайша, Парето оңтайлы бөлісте маргиналдық алмасу шамасы барлық тұтынушылар үшін бірдей болуы керек.
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
Шамалау
Бүкіл Парето фронтын құру көбінесе есептеу жағынан қиындық тудыратындықтан, шамамен Парето фронтын есептеуге арналған алгоритмдер бар. Мысалы, Legriel және авторлар S жиынын, егер S пен P арасындағы бағытталған Хаусдорф қашықтығы ε-дан аспаса, Парето фронтының ε шамалануы деп атайды. Олар кез келген Парето фронтының d өлшемдегі ε шамалануын (1/ε)d сұрау арқылы табуға болатынын көрсетеді. Zitzler, Knowles және Thiele түрлі критерийлер бойынша, мысалы, масштабтауға қатысты инварианттылық, монотондылық және есептеу күрделілігі сияқты, Парето жиынының шамалану алгоритмдерін бірнешеуін салыстырады.