Введение
Набор всех парето-оптимальных ситуаций.
В многокритериальной оптимизации фронт Парето (также называемый границей Парето или кривой Парето) представляет собой набор всех парето-оптимальных решений. Эта концепция широко используется в инженерии. Она позволяет разработчику сосредоточиться на множестве эффективных вариантов и выбирать компромиссы внутри этого множества, вместо рассмотрения всего диапазона значений каждого параметра.
In multi objective optimization, the Pareto front (also called Pareto frontier or Pareto curve) is the set of all Pareto efficient solutions. The concept is widely used in engineering. It allows the designer to restrict attention to the set of efficient choices, and to make tradeoffs within this set, rather than considering the full range of every parameter.
Определение
Граница Парето, P(Y), может быть более формально описана следующим образом. Рассмотрим систему с функцией, где X – компактное множество допустимых решений в метрическом пространстве, а Y – множество допустимых векторов критериев в, таких что. Мы предполагаем, что известны предпочтительные направления изменения значений критериев. Точка предпочтительнее (строго доминирует) другую точку , что записывается как. Таким образом, граница Парето записывается как:
We assume that the preferred directions of criteria values are known. A point is preferred to (strictly dominates) another point , written as The Pareto frontier is thus written as:
Маргинальная ставка замещения
Важным аспектом границы Парето в экономике является то, что при парето-эффективном распределении предельная норма замещения одинакова для всех потребителей. Формальное утверждение можно вывести, рассмотрев систему с m потребителями и n товарами, и функцию полезности каждого потребителя как , где – вектор товаров для всех i. Ограничение допустимости выглядит следующим образом: . Для нахождения парето-оптимального распределения максимизируем лагранжиан:
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
,
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
где и – векторы множителей. Взятие частной производной лагранжиана по каждому товару для и дает следующую систему условий первого порядка:
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
,
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
где обозначает частную производную по отношению к . Теперь зафиксируем любые и . Вышеуказанные условия первого порядка подразумевают, что
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
.
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
Таким образом, в парето-оптимальном распределении предельная норма замещения должна быть одинаковой для всех потребителей.
where and are the vectors of multipliers. Taking the partial derivative of the Lagrangian with respect to each good for and gives the following system of first order conditions:
where denotes the partial derivative of with respect to Now, fix any and The above first order condition imply that
Thus, in a Pareto optimal allocation, the marginal rate of substitution must be the same for all consumers.
Приблизительные оценки
Поскольку генерация всего фронта Парето часто является вычислительно сложной задачей, существуют алгоритмы для вычисления приближенного фронта Парето. Например, Legriel et al. называют множество S ε-приближением фронта Парето P, если направленное расстояние Хаусдорфа между S и P не превышает ε. Они отмечают, что ε-приближение любого фронта Парето P в d измерениях можно найти, используя (1/ε)ᵈ запросов. Zitzler, Knowles и Thiele сравнивают несколько алгоритмов для приближения множеств Парето по различным критериям, таким как инвариантность к масштабированию, монотонность и вычислительная сложность.