Кіріспе
Конвекстік талдаудағы ұғым. Конвекстік талдау және вариациялар есебі – математиканың екі саласы – псевдоконвекстік функция, жергілікті минимумдарын табу тұрғысынан конвекстік функция сияқты қызмет ететін, бірақ міндетті түрде конвекстік бола бермейтін функция. Формальды айтқанда, егер оның оң бағытты туындысы бар кез келген бағытта өсуіне ие болса, дифференциалданатын функция псевдоконвекстік болып табылады. Бұл қасиет функцияның барлық доменінде сақталуы керек, тек жақын нүктелер үшін ғана емес.
In convex analysis and the calculus of variations, both branches of mathematics, a pseudoconvex function is a function that behaves like a convex function with respect to finding its local minima, but need not actually be convex. Informally, a differentiable function is pseudoconvex if it is increasing in any direction where it has a positive directional derivative. The property must hold in all of the function domain, and not only for nearby points.
Жетікті оптималдық жағдай
Кез келген дифференциалданатын функция үшін бізде Ферма теоремасының оптималдықтың қажетті шарты бар, ол былай тұжырымдайды: егер ашық домендегі нүктеде жергілікті минимум болса, онда ол функцияның тұрақты нүктесі болуы керек (яғни: ). Псевдоконвекситет оптимизация саласында үлкен қызығушылық тудырады, себебі кері теорема да кез келген псевдоконвекс функция үшін орындалады. Яғни: егер нүкте псевдоконвекс функцияның тұрақты нүктесі болса, онда функцияның глобалды минимумы осы нүктеде болады. Сондай-ақ, бұл нәтиже глобалды минимумді (жергілікті емес) кепілдендіреді. Бұл соңғы нәтиже дөңес функция үшін де орындалады, бірақ квазидөңес функция үшін орындалмайды. Мысалы, квазидөңес функцияны қарастырайық: Бұл функция псевдоконвекс емес, бірақ квазидөңес. Сондай-ақ, нүкте функцияның сындық нүктесі болып табылады, себебі, бірақ функцияның нүктеде глобалды минимум жоқ (тіпті жергілікті минимум да жоқ). Ақырында, псевдоконвекс функцияда сындық нүктелердің болуы міндетті емес екеніне назар аударыңыз. Мысалы, псевдоконвекс функциясын қарастырайық: , оның туындысы әрқашан оң: .
This function is not pseudoconvex, but it is quasiconvex. Also, the point is a critical point of , as However, does not have a global minimum at (not even a local minimum). Finally, note that a pseudoconvex function may not have any critical point. Take for example the pseudoconvex function: , whose derivative is always positive: .
Қарым-қатынас ұғымдары
Псевдоконкавты функция – теріс шамасы псевдоконвекс функция. Псевдолинейлік функция – псевдоконвексті және псевдоконкавты функция. Мысалы, сызықтық-бөлшек бағдарламаларда псевдолинейлік мақсаттық функциялар және сызықтық-теңсіздік шектеулер болады. Бұл қасиеттер бөлшек сызықтық мәселелерді симплекс алгоритмінің (Джордж Б. Данцигтің) түрімен шешуге мүмкіндік береді. Векторлық мәнді функцияны ескере отырып, псевдоконвексия және псевдолинейность дегеніміздің жалпы түсінігі бар; мұнда классикалық псевдоконвексия және псевдолинейность жағдайында қолданылады.