Введение
Понятие в выпуклом анализе. В выпуклом анализе и исчислении вариаций, обеих отраслях математики, псевдовыпуклой функцией называется функция, которая ведет себя как выпуклая функция при поиске своих локальных минимумов, но не обязана быть выпуклой. Неформально, дифференцируемая функция является псевдовыпуклой, если она возрастает в любом направлении, где у неё есть положительная направленная производная. Это свойство должно выполняться во всей области определения функции, а не только в окрестности точек.
In convex analysis and the calculus of variations, both branches of mathematics, a pseudoconvex function is a function that behaves like a convex function with respect to finding its local minima, but need not actually be convex. Informally, a differentiable function is pseudoconvex if it is increasing in any direction where it has a positive directional derivative. The property must hold in all of the function domain, and not only for nearby points.
Условие достаточной оптимальности
Для любой дифференцируемой функции существует необходимое условие оптимальности, известное как теорема Ферма, которое гласит: если функция имеет локальный минимум в открытой области, то она должна быть стационарной точкой (то есть: ). Псевдоконвексность представляет большой интерес в области оптимизации, поскольку обратное утверждение также верно для любой псевдоконвексной функции. То есть: если является стационарной точкой псевдоконвексной функции , то в точке достигается глобальный минимум. Обратите внимание, что результат гарантирует глобальный минимум (а не только локальный). Этот последний результат также справедлив для выпуклой функции, но не для квазивыпуклой функции. Рассмотрим, например, квазивыпуклую функцию: эта функция не является псевдоконвексной, но она квазивыпукла. Кроме того, точка является критической точкой , поскольку . Однако, функция не имеет глобального минимума в (даже локального минимума). Наконец, следует отметить, что псевдоконвексная функция может не иметь критических точек. Например, рассмотрим псевдоконвексную функцию: , производная которой всегда положительна: .
This function is not pseudoconvex, but it is quasiconvex. Also, the point is a critical point of , as However, does not have a global minimum at (not even a local minimum). Finally, note that a pseudoconvex function may not have any critical point. Take for example the pseudoconvex function: , whose derivative is always positive: .
Связанные понятия
Псевдоконкавная функция — это функция, отрицательное значение которой является псевдовыпуклой. Псевдолинейная функция — это функция, которая является одновременно псевдовыпуклой и псевдоконкавной. Например, линейно-дробные программы имеют псевдолинейные целевые функции и линейные ограничения-неравенства. Эти свойства позволяют решать дробно-линейные задачи с помощью варианта симплекс-метода (Джорджа Б. Данцига). Для векторнозначной функции существует более общее понятие псевдовыпуклости и псевдолинейности; при этом классическая псевдовыпуклость и псевдолинейность относятся к случаю, когда .