Кіріспе
Статистикалық пішінді талдау әдісі
Статистикада Прокруст талдауы – пішіндер жиынтығының таралуын талдауға қолданылатын статистикалық пішінді талдау түрі. Прокруст (Προκρούστης) деген ат грек мифологиясындағы қарақшыға сілтеме жасайды. Ол құрбандарының дене мүшелерін созып немесе кесіп, оларды өз төсегіне сай келтіретін. Математикада: ортогональды Прокруст мәселесі – бір нысанды екінші нысанға қатысты Прокруст суперпозициясы (PS) үшін оңтайлы айналу және/немесе кері бұруды (яғни оңтайлы ортогональды сызықтық түрлендіруді) табуға қолданылатын әдіс. det(R) = 1 (R – ортогональды матрица) шартымен шектелген ортогональды Прокруст мәселесі – бұл бір нысанның PS-нің екінші нысанға қатысты оңтайлы айналуын анықтауға қолданылатын әдіс (кері бұруға рұқсат етілмейді). Кейбір жағдайларда бұл әдіс Кэбш алгоритмі деп аталады. Егер бір пішін басқа пішінмен салыстырылса немесе пішіндер жиынтығы кездейсоқ таңдалған эталондық пішінмен салыстырылса, Прокруст талдауы кейде классикалық немесе стандартты деп аталады, жалпыланған Прокруст талдауына (GPA) қарама-қарсы, ол үш немесе одан да көп пішіндерді оңтайлы анықталған "орташа пішінмен" салыстырады.
an orthogonal Procrustes problem is a method which can be used to find out the optimal rotation and/or reflection (i. e., the optimal orthogonal linear transformation) for the Procrustes Superimposition (PS) of an object with respect to another. a constrained orthogonal Procrustes problem, subject to det(R) = 1 (where R is an orthogonal matrix), is a method which can be used to determine the optimal rotation for the PS of an object with respect to another (reflection is not allowed). In some contexts, this method is called the Kabsch algorithm. When a shape is compared to another, or a set of shapes is compared to an arbitrarily selected reference shape, Procrustes analysis is sometimes further qualified as classical or ordinary, as opposed to generalized Procrustes analysis (GPA), which compares three or more shapes to an optimally determined "mean shape".
Кіріспе
Екі немесе одан көп нысанның пішіндерін салыстыру үшін, нысандарды алдымен оңтайлы түрде "үйлестіру" қажет. Прокруст суперпозициясы (PS) нысандарды оңтайлы түрде жылжыту, бұру және біркелкі масштабтау арқылы жүзеге асырылады. Басқаша айтқанда, нысандардың кеңістіктегі орналасуы да, мөлшері де еркін реттеледі. Мақсаты – нысандар арасындағы пішін айырмашылығының өлшемі болып табылатын Прокруст қашықтығын азайту арқылы ұқсас орналасу мен мөлшерге қол жеткізу. Бұл кейде толық суперпозиция деп аталады, ал ішінара PS-ге қарама-қарсы, онда масштабтау орындалмайды (яғни нысандардың мөлшері сақталады). Назар аударыңыз, толық PS-ден кейін нысандар пішіні бірдей болса, бір-бірімен толық сәйкес келеді. Мысалы, толық PS арқылы әртүрлі радиусы бар екі шар әрқашан сәйкес келеді, себебі олардың пішіні бірдей. Керісінше, ішінара PS арқылы олар ешқашан сәйкес келмейді. Бұл геометриядағы пішін терминінің қатаң анықтамасы бойынша пішін талдауын толық PS қолдану арқылы жүргізу керек екенін білдіреді. Ішінара PS-ге негізделген статистикалық талдау таза пішін талдауы емес, өйткені ол пішін айырмашылықтарына ғана емес, сонымен қатар мөлшер айырмашылықтарына да сезімтал. Толық және ішінара PS ешқашан әртүрлі пішіндегі екі нысанды, мысалы, куб пен шарды немесе оң және сол қолды толық сәйкестендіре алмайды. Кейбір жағдайларда толық және ішінара PS-ге көрініс те қосылуы мүмкін. Көрініс, мысалы, оң қолды сол қолға сәтті (мүмкін, толық) үйлестіруге мүмкіндік береді. Осылайша, көрініс қосылған ішінара PS мөлшерді сақтайды, бірақ жылжу, бұру және көрініске мүмкіндік береді, ал көрініс қосылған толық PS жылжу, бұру, масштабтау және көрініске мүмкіндік береді. Оңтайлы жылжу және масштабтау әлдеқайда қарапайым операциялар арқылы анықталады (төменде қараңыз).
Кәдімгі Прокруст талдау
Бұл жерде біз тек n өлшемдегі k нүктеден тұратын объектілерді қарастырамыз. Көбінесе, бұл нүктелер адам сүйегі сияқты күрделі объектілердің үздіріссіз бетінен таңдалады, және осы жағдайда олар белгі нүктелері деп аталады. Объектінің пішінін ауыстыру, бұру және біркелкі масштабтау компоненттерін жою арқылы құрылған эквиваленттілік класының мүшесі ретінде қарастыруға болады.
Пішіннің салыстыруы
Екі нысанның пішініндегі айырмашылықты тек жоғарыда түсіндірілгендей екі нысанды жылжыту, өлшемдеу және ең тиімді бұру арқылы "үстіне қоюдан" кейін ғана бағалауға болады. Сәйкес келетін нүктелер арасындағы жоғарыда аталған SSD-нің квадрат түбірі осы пішіндегі айырмашылықтың статистикалық өлшемі ретінде қолданылуы мүмкін: Бұл өлшем көбінесе Прокруст қашықтығы деп аталады. Әдебиетте Прокруст қашықтығының басқа, күрделірек анықтамалары және "пішін айырмашылығының" басқа өлшемдері де кейде қолданылатынын ескеріңіз.
This measure is often called Procrustes distance. Notice that other more complex definitions of Procrustes distance, and other measures of "shape difference" are sometimes used in the literature.
Пішіндер жиынтығын бір-біріне қосу
Біз екі пішінді қалай үйлестіруге болатынын көрсеттік. Осы әдіс жоғарыда аталған эталондық бағытты сақтай отырып, үш немесе одан да көп пішіндер жиынтығын үйлестіру үшін де қолданылуы мүмкін. Дегенмен, жалпыланған Прокруст талдауы осы мақсатқа жетудің тиімдірек тәсілін ұсынады.
Мысалдар
Формалық талдау биологиялық деректерде анатомиялық ерекшеліктердің өзгеруін анықтау үшін қолданылады, мысалы, жақ сүйектерінің пішінін қарастыру кезінде. Дэвид Джордж Кендаллдың бір зерттеуінде тік тұрған тастардан құралған үшбұрыштар қарастырылды, олардың көбінесе түзу сызықтар бойымен орналасқанын анықтау мақсаты болды. Үшбұрыштың пішінін сферадағы бір нүкте ретінде бейнелеуге болады, ал барлық пішіндердің таралуын сфера бетіндегі таралу ретінде қарастыруға болады. Тік тұрған тастардан алынған нақты үлгінің таралуы теориялық таралумен салыстырылды, нәтижесінде түзу сызықтардың кездесу жиілігі орташа деңгейден жоғары емес екені көрсетілді.