Введение

Метод статистического анализа форм

В статистике анализ Прокруста является формой статистического анализа форм, используемой для анализа распределения набора форм. Название «Прокруст» (Προκρούστης) происходит от имени бандита из греческой мифологии, который заставлял своих жертв соответствовать своей кровати, растягивая или укорачивая их конечности. В математике: ортогональная задача Прокруста – это метод, который можно использовать для определения оптимального поворота и/или отражения (то есть оптимального ортогонального линейного преобразования) при суперпозиции Прокруста (PS) одного объекта относительно другого. Ограниченная ортогональная задача Прокруста, при условии det(R) = 1 (где R – ортогональная матрица), – это метод, который можно использовать для определения оптимального поворота при суперпозиции Прокруста (PS) одного объекта относительно другого (отражение не допускается). В некоторых контекстах этот метод называют алгоритмом Кабша. Когда форма сравнивается с другой формой или набор форм сравнивается с произвольно выбранной эталонной формой, анализ Прокруста иногда уточняется как классический или обычный, в отличие от обобщенного анализа Прокруста (GPA), который сравнивает три или более форм с оптимально определенной «средней формой».

Введение

Для сравнения форм двух или более объектов, объекты должны быть сначала оптимально "наложены" друг на друга. Прокрустово наложение (ПС) выполняется путем оптимального сдвига, вращения и равномерного масштабирования объектов. Иными словами, как положение в пространстве, так и размер объектов могут быть свободно изменены. Цель состоит в том, чтобы добиться схожего положения и размера, минимизируя меру различия формы, называемую прокрустовым расстоянием между объектами. Это иногда называют полным, в отличие от частичного ПС, в котором масштабирование не производится (то есть размер объектов сохраняется). Следует отметить, что после полного ПС объекты будут точно совпадать, если их форма идентична. Например, при полном ПС две сферы с разными радиусами всегда совпадут, поскольку они имеют совершенно одинаковую форму. Напротив, при частичном ПС они никогда не совпадут. Это подразумевает, что, в соответствии со строгим геометрическим определением термина "форма", анализ формы следует проводить с использованием полного ПС. Статистический анализ, основанный на частичном ПС, не является чистым анализом формы, поскольку он чувствителен не только к различиям в форме, но и к различиям в размере. И полное, и частичное ПС никогда не смогут идеально сопоставить два объекта с разной формой, например, куб и сферу, или правую и левую руку. В некоторых случаях как полное, так и частичное ПС могут также включать отражение. Отражение позволяет, например, успешно (возможно, идеально) наложить правую руку на левую. Таким образом, частичное ПС с включенным отражением сохраняет размер, но допускает сдвиг, вращение и отражение, в то время как полное ПС с включенным отражением допускает сдвиг, вращение, масштабирование и отражение. Оптимальный сдвиг и масштабирование определяются с помощью гораздо более простых операций (см. ниже).

Обычный анализ Прокустеса

Здесь мы рассматриваем объекты, состоящие из конечного числа k точек в n-мерном пространстве. Часто эти точки выбираются на непрерывной поверхности сложных объектов, таких как человеческая кость, и в этом случае они называются ключевыми точками. Форму объекта можно рассматривать как элемент класса эквивалентности, формируемого путём исключения компонентов трансляции, вращения и равномерного масштабирования.

Сравнение формы

Различие между формой двух объектов может быть оценено только после "наложения" этих объектов посредством сдвига, масштабирования и оптимального поворота, как описано выше. Квадратный корень из вышеупомянутого SSD между соответствующими точками может быть использован в качестве статистической меры этой разницы в форме:

Эта мера часто называется расстоянием Прокруста. Следует отметить, что в литературе иногда используются другие, более сложные определения расстояния Прокруста и другие меры "различия форм".

Наложение набор форм

Мы показали, как совместить две формы. Тот же метод можно применить для совмещения набора из трех и более форм, при условии использования указанной выше опорной ориентации для всех них. Однако, обобщенный анализ Прокруста предоставляет более эффективный способ достижения этой цели.

Примеры

Анализ формы используется в биологических данных для выявления вариаций анатомических признаков, характеризуемых данными о ключевых точках, например, при изучении формы челюстных костей. В одном исследовании Дэвида Джорджа Кендалла были проанализированы треугольники, образованные стоячими камнями, чтобы определить, часто ли они выстраивались в прямые линии. Форму треугольника можно представить как точку на сфере, а совокупность всех возможных форм – как распределение на сфере. Эмпирическое распределение треугольников, полученное из стоящих камней, сравнивалось с теоретическим распределением, чтобы показать, что частота появления прямых линий не превышала ожидаемую.