Кармакар алгоритмі: Сызықтық бағдарламалауды шешудің жаңа әдісі

Кіріспе

Кармаркар алгоритмі – сызықтық бағдарламалау мәселелерін шешу үшін 1984 жылы Нарендра Кармаркар ұсынған алгоритм. Бұл мәселелерді полиномиалдық уақыт ішінде шешетін алғашқы тиімді алгоритм болды. Эллипсоидтық әдіс те полиномиалдық уақытта жұмыс істейді, бірақ тәжірибеде тиімсіз екені дәлелденді. Айнымалылардың санымен *n*, теңсіздік шектеулерінің санымен *m*, ал алгоритмге берілетін деректердің биттерінің санымен *L* белгіленсе, Кармаркар алгоритмі *n* таңбалы сандармен операцияларды қажет етеді, ал эллипсоидтық алгоритмге осындай операциялар қажет. «Төртбұрышты» мәселелерде, яғни *m* саны *O(n)*-ге тең болғанда, Кармаркар алгоритмі *n* таңбалы сандармен операцияларды қажет етеді, ал эллипсоидтық алгоритмге осындай операциялар қажет. Сондықтан Кармаркар алгоритмінің жұмыс істеу уақыты FFT-негізді көбейтуді пайдалана отырып (үлкен О белгісін қараңыз) анықталады. Кармаркар алгоритмі ішкі нүктелік әдістер класына жатады: шешімнің ағымдағы шамасы симплекс әдісіндегідей мүмкін болатын жиынның шекарасы бойынша емес, мүмкін болатын аймақтың ішінде жылжиды, әр итерацияда оңтайлы шешімге жақындауды нақты үлеспен жақсартады және рационалды деректермен оңтайлы шешімге жуықсады.

Патент даулары

Алгоритмді ойлап тапқан кезде Кармаркар Калифорниядағы IBM San Jose Research Laboratory-де IBM-нің докторантурадан кейінгі ғылыми қызметкері ретінде жұмыс істеді. 1983 жылдың 11 тамызында ол Стенфорд университетінде алгоритмді түсіндіретін семинар өткізді, онда оның қызмет орны әлі де IBM деп көрсетілген. 1983 жылдың күзінде Кармаркар AT&T компаниясында жұмыс істей бастады және 1984 жылғы ACM Компьютерлік теория бойынша симпозиумына (STOC, 30 сәуір – 2 мамыр, 1984) өзінің жұмысын тапсырды, онда AT&T Bell Laboratories-ті өзінің ұйымы ретінде көрсетті. Алгоритмді AT&T телефон желісін оңтайландыру үшін қолданғаннан кейін, олар оның өнертабысының практикалық маңызы болуы мүмкін екенін түсінді. 1985 жылдың сәуірінде AT&T компаниясы оның алгоритміне патент алуға дереу өтініш берді. Бұл патент бағдарламалық қамтамастың патенттелуіне қатысты дауды одан әрі қыздырды. Бұл көптеген математиктерді алаңдатты, мысалы, Рональд Ривест (RSA алгоритмінің патентінің иегерлерінің бірі), ол зерттеулер алгоритмдердің тегін болуы керек деген принципке негізделуі керек деп мәлімдеді. Патенттің берілуіне дейін, бұрынғы өнертабыстардың болуы мүмкін екені айтылды. Сандық талдау саласындағы мамандар, соның ішінде Филип Гилл және басқалар, Кармаркар алгоритмінің параметрлер дұрыс таңдалған жағдайда, логарифмдік кедергі функциясы бар Ньютонның проекциялық кедергі әдісіне тең екенін мәлімдеді. Заң ғалымы Эндрю Чин Гиллдің аргументінің дұрыс еместігін айтады, себебі олар сипаттаған әдіс "алгоритм" болып табылмайды, өйткені ол әдістің ішкі логикасынан туындамайтын параметрлерді таңдауды қажет етеді, бірақ сыртқы басшылыққа, негізінен Кармаркар алгоритміне сүйенеді. Сонымен қатар, Кармаркардың үлесі Saltzman сипаттаған Фиакко МакКормик, Гилл және басқалардың барлық бұрынғы жұмыстарына қарағанда айқын емес деп есептеледі. Патент АҚШ Сенатында талқыланды және 1988 жылдың мамырында Кармаркардың жұмысының ерекше түпнұсқалығын мойындау үшін "Қоралдарды тиімді бөлу әдістері мен құралдары" ретінде берілді. AT&T компаниясы Кармаркар алгоритмін орындау үшін арнайы векторлық көппроцессорлық компьютерлік жүйені жасады, нәтижесінде аппараттық және бағдарламалық қамтамастың комбинациясын KORBX деп атады және бұл жүйені 8,9 миллион АҚШ долларына сатты. Оның алғашқы тұтынушысы Пентагон болды. Бағдарламалық қамтамастың патенттелуіне қарсылар патенттер бұрын сызықтық бағдарламалау және өнеркәсіптегі зерттеушілер арасындағы оң өзара әрекеттесу циклдарын бұзды және Кармаркарды оның саласындағы математикалық зерттеушілер желісінен оқшаулады деп мәлімдеді. Патент 2006 жылдың сәуірінде қолданылу мерзімі бітті және алгоритм қазір жалпыға қолжетімді. АҚШ Жоғарғы Соты Gottschalk v. Benson ісінде математиканы патенттеуге болмайды деп шешті. Бұл істе, Сот компьютерлік алгоритмдерді патенттеуге бола ма деген мәселені алдымен қарастырды және олар патент жүйесі идеялар мен ұқсас абстракцияларды қорғамайтындықтан патенттеуге болмайды деп шешті. Diamond v. Diehr ісінде Жоғарғы Сот былай деді: "Математикалық формула өзінің қорғауын біздің патенттік заңдарымыздан алмайды, және бұл принципті формуланың қолданылуын белгілі бір технологиялық ортамен шектеу арқылы айналып өтуге болмайды." Mayo Collaborative Services v. Prometheus Labs, Inc. ісінде Жоғарғы Сот одан әрі түсіндірді: "Математикалық принцитті физикалық машинада, яғни компьютерде жүзеге асыру, бұл принципті патенттеуге жатпайды."

At the time he invented the algorithm, Karmarkar was employed by IBM as a postdoctoral fellow in the IBM San Jose Research Laboratory in California. On August 11, 1983 he gave a seminar at Stanford University explaining the algorithm, with his affiliation still listed as IBM. By the fall of 1983 Karmarkar started to work at AT&T and submitted his paper to the 1984 ACM Symposium on Theory of Computing (STOC, held April 30 May 2, 1984) stating AT&T Bell Laboratories as his affiliation. After applying the algorithm to optimizing AT&T's telephone network, they realized that his invention could be of practical importance. In April 1985, AT&T promptly applied for a patent on his algorithm. The patent became more fuel for the ongoing controversy over the issue of software patents. This left many mathematicians uneasy, such as Ronald Rivest (himself one of the holders of the patent on the RSA algorithm), who expressed the opinion that research proceeded on the basis that algorithms should be free. Even before the patent was actually granted, it was argued that there might have been prior art that was applicable. Mathematicians who specialized in numerical analysis, including Philip Gill and others, claimed that Karmarkar's algorithm is equivalent to a projected Newton barrier method with a logarithmic barrier function, if the parameters are chosen suitably. Legal scholar Andrew Chin opines that Gill's argument was flawed, insofar as the method they describe does not constitute an "algorithm", since it requires choices of parameters that don't follow from the internal logic of the method, but rely on external guidance, essentially from Karmarkar's algorithm. Furthermore, Karmarkar's contributions are considered far from obvious in light of all prior work, including Fiacco McCormick, Gill and others cited by Saltzman. The patent was debated in the U. S. Senate and granted in recognition of the essential originality of Karmarkar's work, as : "Methods and apparatus for efficient resource allocation" in May 1988. AT&T designed a vector multi processor computer system specifically to run Karmarkar's algorithm, calling the resulting combination of hardware and software KORBX, and marketed this system at a price of US$8.9 million. Its first customer was the Pentagon. Opponents of software patents have further argued that the patents ruined the positive interaction cycles that previously characterized the relationship between researchers in linear programming and industry, and specifically it isolated Karmarkar himself from the network of mathematical researchers in his field. The patent itself expired in April 2006, and the algorithm is presently in the public domain. The United States Supreme Court has held that mathematics cannot be patented in Gottschalk v. Benson, In that case, the Court first addressed whether computer algorithms could be patented and it held that they could not because the patent system does not protect ideas and similar abstractions. In Diamond v. Diehr, the Supreme Court stated, "A mathematical formula as such is not accorded the protection of our patent laws, and this principle cannot be circumvented by attempting to limit the use of the formula to a particular technological environment. In Mayo Collaborative Services v. Prometheus Labs., Inc., the Supreme Court explained further that "simply implementing a mathematical principle on a physical machine, namely a computer, [i]s not a patentable application of that principle."

Қолданбалар

Кармаркар алгоритмі АҚШ армиясы Ғылыми-техникалық прогресс кезінде логистикалық жоспарлау үшін пайдаланылды.