Кіріспе
Эпистемиялық модальдық логика – білім туралы пайымдаумен айналысатын модальдық логиканың бір саласы. Эпистемологияның ежелгі Грецияға дейінгі ұзақ философиялық дәстүрі болғанымен, эпистемиялық логика – бұл философия, теориялық информатика, жасанды интеллект, экономика және тіл білімі сияқты көптеген салаларда қолданылатын, салыстырмалы түрде жақында дамыған сала. Аристотельден бері философтар модальдық логиканы талқылап келген, ал Әвиценна, Окхам және Дунс Скот сияқты ортағасырлық философтар оның көптеген аспектілерін дамытты. Алайда, бұл тақырыпқа алғашқы символдық және жүйелі көзқарасты 1912 жылы К.И. Льюис жасады. Ол Крипке еңбектері арқасында 1963 жылы қазіргі түріне жетіп, сала ретінде қалыптасты.
Тарихи дамуы
1950 жылдары білім логикасына қатысты көптеген мақалалар жазылды, бірақ фин философы Г.Х. фон Райттың 1951 жылғы «Модальдық логикадағы эссе» атты мақаласы осы саланың негізін қалаушы құжат ретінде есептеледі. 1962 жылға дейін тағы бір фин, Хинтикка, «Білім және сенім» деген тұңғыш кітабында білімнің семантикасын түсіндіру үшін модальдық тәсілдерді қолдануды ұсынды, бұл модальдық логикада әдетте талқыланатын алетикалық тұжырымдардан өзгеше еді. Бұл жұмыс осы тақырыптың көптеген негізін қалады, бірақ содан бері көптеген зерттеулер жүргізілді. Мысалы, эпистемикалық логика жақында динамикалық логикадан алынған кейбір идеялармен біріктіріліп, динамикалық эпистемикалық логика құрылды, оны көп агенттік жүйелерде ақпараттың өзгеруі мен алмасуын сипаттау және талдау үшін пайдалануға болады. Бұл саладағы маңызды еңбектерді Плаза, Ван Бентхем, Балтаг, Мосс және Солецки жазған.
Мүмкін әлемдердің стандартты моделі
Білімді модельдеуге жасалған көптеген әрекеттер мүмкін әлемдер моделіне негізделген. Мұны істеу үшін, біз мүмкін әлемдер жиынтығын агенттің білімімен сәйкес келетін және келмейтін әлемдерге бөлуіміз керек. Бұл, әдетте, қалыпты қолданысқа сай келеді. Егер мен бүгін жұма немесе сенбі екенін білсем, онда бейсенбі емес екенін анық білемін. Менің біліміммен сәйкес келетін әлемдердің ішінде бейсенбі күні болатын әлем жоқ, себебі барлық әлемдерде жұма немесе сенбі күндері болады. Біз осы міндетті орындау үшін негізінен логикалық тәсілді талқылаймыз, бірақ басқа маңызды тәсілді, оқиғаға негізделген тәсілді де атап өту қажет. Бұл жағдайда оқиғалар – мүмкін әлемдердің жиынтығы, ал білім – оқиғаларға қатысты оператор. Стратегиялар өте байланысты болғанымен, олардың арасында екі маңызды айырмашылық бар: логикалық тәсілдің негізгі математикалық моделі – Крипке семантикасы, ал оқиғаға негізделген тәсіл жиын теориясына негізделген, оған байланысты Ауманн құрылымдарын қолданады. Оқиғаға негізделген тәсілде логикалық формулалар толығымен алынып тасталады, ал логикалық тәсіл модальдық логика жүйесін пайдаланады. Әдетте, логикалық тәсіл философия, логика және жасанды интеллект сияқты салаларда қолданылады, ал оқиғаға негізделген тәсіл көбінесе ойын теориясы және математикалық экономика сияқты салаларда қолданылады. Логикалық тәсілде синтаксис және семантика модальдық логика тілі арқылы құрылды, оны енді сипаттаймыз.
The underlying mathematical model of the logic based approach are Kripke semantics, while the event based approach employs the related Aumann structures based on set theory. In the event based approach logical formulas are done away with completely, while the logic based approach uses the system of modal logic. Typically, the logic based approach has been used in fields such as philosophy, logic and AI, while the event based approach is more often used in fields such as game theory and mathematical economics. In the logic based approach, a syntax and semantics have been built using the language of modal logic, which we will now describe.
Синтаксисі
Эпистемиялық логиканың негізгі модальдық операторы, әдетте K деп жазылады, оны "белгілі", "эпистемиялық тұрғыдан қажетті" немесе "белгілі нәрсеге қайшы" деп оқуға болады. Егер білімі көрсетілуі тиіс бірнеше агент болса, операторға индекстер қосылуы мүмкін (, , т.б.) қай агент туралы сөз болып жатқанын көрсету үшін. Мысалы, "Агент біледі, " деп оқылады. Осылайша, эпистемиялық логика – білімді ұсынуға қолданылатын мультимодальдық логиканың мысалы бола алады. K операторының дуалы, операторымен қатынаста болатындай, операторымен байланысты, арнайы символы жоқ, бірақ оны арқылы белгілеуге болады, оны " білмейді, " немесе " білімінде мүмкін екеніне қатысты үйлесімділік бар" деп оқуға болады. " білмейді, не екенін" деген мәлімдеме мысылы былай жазылуы мүмкін: Жалпыға білімі (мысалы, Muddy Children Puzzle) және таратылған білімді қамту үшін тілге үш модальдық оператор қосылуы мүмкін. Бұл: "G тобындағы әрбір агент біледі" (өзара білім); "G тобындағы барлық агенттер үшін ортақ білім"; және "G тобының барлық мүшелері таратылған білімді біледі". Егер біздің тіліміздің формуласы болса, онда , , және де формула болады. операторынан кейінгі индекс бір ғана агент болғанда алынып тасталуы мүмкін, сондай-ақ , , және операторларынан кейінгі индекс топ барлық агенттер жиыны болғанда алынып тасталуы мүмкін.
In order to accommodate notions of common knowledge (e. g. in the Muddy Children Puzzle) and distributed knowledge, three other modal operators can be added to the language. These are , which reads "every agent in group G knows" (mutual knowledge); , which reads "it is common knowledge to every agent in G"; and , which reads "it is distributed knowledge to the whole group G." If is a formula of our language, then so are , , and Just as the subscript after can be omitted when there is only one agent, the subscript after the modal operators , , and can be omitted when the group is the set of all agents.
Семантика
Жоғарыда айтылғандай, логикалық тәсіл ықтимал әлемдер моделіне негізделген, оның семантикасы көбінесе Крипке құрылымдарында, сондай-ақ Крипке модельдері деп аталатындарда нақты бейнеленеді. n агенттері үшін Крипке құрылымы – , барлық бастапқы ұйғарымдар жиынтығы – бұл тупл, мұнда жай-күйлердің немесе мүмкін әлемдердің бос емес жиынтығы, әр жай-күйге бастапқы ұйғарымдарға шындық мәнін тағайындайтын интерпретация және n агент саны үшін екілік қатынастар бар. Мұнда , біздің модальдық операторымызды және , біздің қолжетімділік қатынасымызды шатастырмау маңызды. Шындық мәнін тағайындау белгілі бір жай-күйде ұйғарымның шын немесе жалған екенін көрсетеді. Бұл модельдегі шындық құрылымға ғана емес, сонымен қатар ағымдағы әлемге де байланысты екенін көрсетеді. Бір әлемде дұрыс болған нәрсе екінші әлемде де дұрыс болады деп айтуға болмайды. Формуланың белгілі бір әлемде шын екенін көрсету үшін , деп жазады, бұл әдетте " - әлемде шын" немесе " қанағаттандырады" деп оқылады. Біздің екілік қатынасымызды мүмкіндік қатынасы ретінде қарастыру пайдалы, өйткені ол агенттің i мүмкін деп санайтын әлемдерді немесе жай-күйлерді бейнелеуге арналған; яғни, егер және тек егер , және мұндайлар агенттің i үшін эпистемиялық баламалар деп аталады. Білім туралы идеалды есептерде (мысалы, шексіз жадқа ие кемелді ойлаушылардың эпистемиялық жағдайын сипаттауда) эквиваленттік қатынас болуы логикалық, өйткені бұл ең күшті форма және көптеген қолданулар үшін ең қолайлы. Эквиваленттік қатынас – рефлексивті, симметриялық және транзитивті екілік қатынас. Қолжетімділік қатынасы міндетті түрде осы қасиеттерге ие болуы керек емес; білімді емес, сенімді модельдеу кезінде қолданылатын басқа да нұсқалар бар.
Білімнің қасиеттері
Егер бұл эквиваленттік қатынас болса және агенттер мінсіз ойлау қабілетіне ие болса, білімнің бірнеше қасиеттерін шығаруға болады. Мұнда келтірілген қасиеттер көбінесе "S5 қасиеттері" деп белгілі, себебі олар төмендегі Аксиомалық жүйелер бөлімінде сипатталған.
Таралу аксиомасы
Бұл аксиома дәстүрлі түрде К деп белгілі. Эпистемиялық тұрғыдан алғанда, егер агент білсе және білсе , онда агент міндетті түрде білуі керек . Осылайша,
Бұл аксиома реляциялық семантикадағы кез келген жағдайда қолданылады. Бұл аксиома логикалық тұрғыдан modus ponens-ті эпистемиялық мүмкін болатын әрбір әлем үшін қорытынды шығару қағидасы ретінде орнықтырады.
Білімді жалпылау ережесі
Біз шығара алатын тағы бір қасиет – егер дұрыс болса (яғни, тавтология), онда . Бұл егер дұрыс болса, агент i біледі дегенді білдірмейді. Бұл, егер агент мүмкін деп санайтын әрбір әлемде дұрыс болса, онда агент оны барлық мүмкін әлемде білуі керек дегенді білдіреді. Бұл принцип дәстүрлі түрде N (қажеттілік ережесі) деп аталады. Бұл ереже қатынастық семантикада шындықты әрқашан сақтайды.
Аксиомалық жүйелер
Әр түрлі модальдық логикаларды осы аксиомалардың әр түрлі жиынтықтарын алып, олардан тудыруға болады, және бұл логикалар әдетте қолданылатын маңызды аксиомалардың атымен аталады. Дегенмен, бұл әрқашан да солай бола бермейді. K, T, 4, 5 және Білімді Жалпылау Ережесін біріктіру нәтижесінде пайда болатын KT45 модальдық логикасы көбінесе S5 деп аталады. Сондықтан жоғарыда сипатталған білімнің қасиеттері көбінесе S5 қасиеттері деп аталады. Алайда, модальдық аксиома B S5-те теорема болып табылатыны дәлелденуі мүмкін (атап айтқанда), ол агенттің өзі білмейтінін білмейтінінің шындық екенін көрсетеді: B модальдық аксиомасы кез келген симметриялық шеңберде дұрыс, бірақ эпистемиялық логикада өте интуитивті емес: өз білімсіздігіңіз туралы білімсіздік шындықты қалай білдіре алады? Сондықтан S4 эпистемиялық логиканы S5-тен жақсы сипаттай ма деген мәселе талқылауға ашық. Эпистемиялық логика тек біліммен ғана емес, сонымен қатар сеніммен де айналысады. Негізгі модальдық оператор әдетте K орнына B деп жазылады. Алайда, бұл жағдайда білім аксиомасы дұрыс сияқытпайды – агенттер кейде ғана шындыққа сенеді – сондықтан ол әдетте Д деп аталатын Тұрақтылық аксиомасымен ауыстырылады: ол агенттің қарама-қайшылыққа немесе жалғанға сенбейтінін көрсетеді. D S5-те T орнына келгенде, нәтижедегі жүйе KD45 деп аталады. Бұл сондай-ақ қасиеттерінің өзгеруіне де әкеледі. Мысалы, агенттің бір нәрсені шындық деп "сенетін", бірақ ол шындықта солай болмайтын жүйеде қолжетімділік қатынасы рефлексивті емес болады. Сенім логикасы доксастикалық логика деп аталады.
which states that the agent does not believe a contradiction, or that which is false. When D replaces T in S5, the resulting system is known as KD45. This results in different properties for as well. For example, in a system where an agent "believes" something to be true, but it is not actually true, the accessibility relation would be non reflexive. The logic of belief is called doxastic logic.
Көп агентті жүйелер
Дискурс доменінде әрбір агенттің i жеке эпистемиялық модальдық операторға сәйкес келетін көптеген агенттер болған жағдайда, әрбір агенттің рационалдығын сипаттау үшін жоғарыда аталған әрбір жеке агенттің аксиомалық схемаларымен қатар, әдетте, әрбір агенттің рационалдығы барлыққа мәлім деп қарастырылады.