Введение

Эпистемическая модальная логика – это раздел модальной логики, изучающий рассуждения о знании. Хотя эпистемология имеет давние философские традиции, восходящие к Древней Греции, эпистемическая логика – значительно более позднее развитие, находящее применение во многих областях, включая философию, теоретическую информатику, искусственный интеллект, экономику и лингвистику. Философы, начиная с Аристотеля, обсуждали модальную логику, а средневековые мыслители, такие как Авиценна, Оккам и Дунс Скот, развили многие из их наблюдений, однако именно К.И. Льюис создал первый символический и систематический подход к этой теме в 1912 году. Эта область продолжала развиваться и приобрела свой современный вид в 1963 году благодаря работам Крипке.

Историческое развитие

В 1950-х годах было написано множество работ, в которых мимоходом упоминалась логика знания, однако статья финского философа Г. Х. фон Райта 1951 года под названием «Очерк модальной логики» считается основополагающим документом. Лишь в 1962 году другой финн, Хинтикка, опубликовал книгу «Знание и вера» – первую работу, в которой предлагалось использовать модальности для описания семантики знания, а не алетических высказываний, обычно рассматриваемых в модальной логике. Эта работа заложила значительную основу для развития этой области, но с тех пор было проведено большое количество исследований. Например, эпистемическая логика недавно была объединена с некоторыми идеями из динамической логики, что привело к созданию динамической эпистемической логики, которая может использоваться для спецификации и рассуждений об изменении и обмене информацией в многоагентных системах. К основополагающим работам в этой области относятся труды Пласы, Ван Бентхема, Балтага, Мосса и Солецки.

Стандартная модель возможных миров

Большинство попыток моделирования знаний основаны на модели возможных миров. Для этого необходимо разделить множество возможных миров на те, которые согласуются со знаниями агента, и те, которые не согласуются. Это обычно соответствует общепринятому пониманию. Если я знаю, что сегодня либо пятница, либо суббота, то я точно знаю, что сегодня не четверг. Не существует возможного мира, согласующегося с моими знаниями, в котором был бы четверг, поскольку во всех этих мирах сегодня либо пятница, либо суббота. Хотя мы в основном будем рассматривать логический подход к решению этой задачи, стоит упомянуть и другой основной метод, подход, основанный на событиях. В этом случае события представляются как множества возможных миров, а знание – как оператор, действующий на события. Несмотря на тесную взаимосвязь этих стратегий, между ними можно выделить два важных различия: в основе логического подхода лежит математическая модель – семантика Крипке, а подход, основанный на событиях, использует связанные структуры Ауманна, основанные на теории множеств. В подходе, основанном на событиях, логические формулы полностью исключаются, в то время как логический подход использует систему модальной логики. Как правило, логический подход применяется в таких областях, как философия, логика и искусственный интеллект, а подход, основанный на событиях, чаще используется в теории игр и математической экономике. В логическом подходе синтаксис и семантика построены на языке модальной логики, который мы сейчас и опишем.

Синтаксис

Основной модальный оператор эпистемической логики, обычно записываемый как K, может читаться как "известно, что", "эпистемически необходимо, что" или "несовместимо с тем, что известно, что неверно". Если необходимо представить знания более чем одного агента, к оператору можно добавить индексы (, , и т. д.), чтобы указать, о каком агенте идет речь. Таким образом, можно прочесть как "Агент знает, что ". Следовательно, эпистемическая логика может быть примером мультимодальной логики, применяемой для представления знаний. Дуальный оператор K, который находится к K в том же отношении, что к , не имеет специального символа, но может быть представлен как , который можно прочесть как " не знает, что неверно" или "Это совместимо со знаниями о том, что возможно". Утверждение " не знает, верно ли " может быть выражено как . Для учета понятий общего знания (например, в задаче о грязных детях) и распределенного знания в язык можно добавить три других модальных оператора. Это , который читается как "каждый агент в группе G знает" (взаимное знание); , который читается как "это общее знание для каждого агента в G"; и , который читается как "это распределенное знание для всей группы G". Если является формулой нашего языка, то также являются , , и . Подобно тому, как индекс после можно опустить, если есть только один агент, индексы после модальных операторов , , и можно опустить, когда группа представляет собой множество всех агентов.

Семантика

Как упоминалось выше, логический подход основан на модели возможных миров, семантика которой часто формализуется в структурах Крипке, также известных как модели Крипке. Структура Крипке для n агентов над , множеством всех примитивных пропозиций, является n-кортежем, где – непустое множество состояний или возможных миров, – интерпретация, которая сопоставляет каждому состоянию значение истинности примитивных пропозиций из , а – бинарные отношения на для n агентов. Важно не путать , наш модальный оператор, и , наше отношение доступности. Значение истинности сообщает нам, истинна или ложна пропозиция в определенном состоянии. Таким образом, говорит нам, истинна ли пропозиция в состоянии в модели . Истинность зависит не только от структуры, но и от текущего мира. Тот факт, что что-то истинно в одном мире, не означает, что это истинно и в другом. Чтобы указать, что формула истинна в определенном мире, пишут , что обычно читается как "истинна в ", или "удовлетворяется ". Полезно рассматривать наше бинарное отношение как отношение возможности, поскольку оно призвано отражать то, какие миры или состояния агент i считает возможными; другими словами, если и только если , и такие называются эпистемическими альтернативами для агента i. В идеализированных описаниях знания (например, при описании эпистемического статуса совершенных рассуждающих с бесконечной памятью) имеет смысл, чтобы было отношением эквивалентности, поскольку это самая сильная форма и наиболее подходящая для наибольшего числа приложений. Отношение эквивалентности – это бинарное отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Отношение доступности не обязано обладать этими свойствами; существуют и другие возможные варианты, например, те, которые используются при моделировании убеждений, а не знаний.

Свойства знания

Предполагая, что данное отношение является отношением эквивалентности, и что агенты обладают совершенной рациональностью, можно вывести несколько свойств знания. Свойства, перечисленные здесь, часто называют "Свойствами S5" по причинам, которые описаны в разделе "Системы аксиом" ниже.

Аксиомы распределения

Эта аксиома традиционно известна как К. В эпистемическом плане она утверждает, что если агент знает φ и знает, что φ → ψ, то агент также должен знать ψ. Таким образом, эта аксиома верна в любой структуре в реляционной семантике. Эта аксиома логически обосновывает modus ponens как правило вывода для любого эпистемически возможного мира.

Правило обобщения знаний

Другое свойство, которое мы можем вывести, заключается в том, что если φ верно (то есть является тавтологией), то □φ верно. Это не означает, что если φ верно, то агент i знает φ. Это означает, что если φ верно во всех мирах, которые агент считает возможными, то агент должен знать φ во всех возможных мирах. Этот принцип традиционно называется N (правило необходимости). Это правило всегда сохраняет истинность в реляционной семантике.

Системы аксиом

Различные модальные логики могут быть получены из различных подмножеств этих аксиом, и эти логики обычно называют по именам важных используемых аксиом. Однако это не всегда так. KT45, модальная логика, получаемая объединением аксиом K, T, 4, 5 и правила обобщения знаний, в основном известна как S5. Именно поэтому свойства знания, описанные выше, часто называют свойствами S5. Однако можно доказать, что модальная аксиома B является теоремой в S5 (а именно, ), которая утверждает, что то, что агент не знает, что он не знает, истинно: модальная аксиома B истинна в любой симметричной структуре, но очень неинтуитивна в эпистемической логике: как незнание собственного незнания может подразумевать истину? Поэтому можно дискутировать, не описывает ли S4 эпистемическую логику лучше, чем S5. Эпистемическая логика также рассматривает веру, а не только знание. Базовый модальный оператор обычно записывается как B вместо K. В этом случае, однако, аксиома знания уже не кажется подходящей – агенты не всегда верят в истину, поэтому её обычно заменяют аксиомой согласованности, традиционно называемой D: которая утверждает, что агент не верит в противоречие или во что-то ложное. Когда D заменяет T в S5, результирующая система известна как KD45. Это приводит к иным свойствам для . Например, в системе, где агент "верит", что что-то истинно, но это не так, отношение доступности будет нерефлексивным. Логика веры называется доксастической логикой.

Многоагентные системы

Когда в области рассуждений присутствует несколько агентов, где каждому агенту i соответствует отдельный эпистемический модальный оператор, в дополнение к аксиоматическим схемам для каждого агента, перечисленным выше, описывающим рациональность каждого из них, обычно также предполагается, что рациональность каждого агента является общеизвестным фактом.