Введение
Раздел логики
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
Пропозициональное исчисление – это раздел логики. Оно также называется логикой высказываний, логикой суждений, логикой предложений. Оно имеет дело с пропозициями и отношениями между ними, включая построение аргументов на их основе. Сложные пропозиции формируются путем соединения пропозиций логическими связками, представляющими функции истинности конъюнкции, дизъюнкции, импликации, бикондиционала и отрицания. Некоторые источники включают другие связки, как показано в таблице ниже. В отличие от логики первого порядка, пропозициональная логика не имеет дела с нелогическими объектами, предикатами о них или кванторами. Однако весь аппарат пропозициональной логики включен в логику первого порядка и логику высших порядков. В этом смысле пропозициональная логика является основой логики первого порядка и логики высших порядков. Пропозициональная логика обычно изучается с использованием формального языка, в котором пропозиции представлены буквами, называемыми пропозициональными переменными. Затем они используются вместе с символами для связок, чтобы создавать сложные пропозиции. В связи с этим пропозициональные переменные называются атомарными формулами формального языка нулевого порядка.
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
| Связка | Символ |
|---|---|
| И | , , , , |
| Эквивалентно | , , |
| Имплицирует | , , |
| И-НЕ | , , |
| Неэквивалентно | , , |
| ИЛИ-НЕ | , , |
| НЕ | , , , |
| ИЛИ | , , , |
| Исключающее ИЛИ (XNOR) | XNOR |
| Исключающее ИЛИ (XOR) | , |
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
Наиболее тщательно исследованным разделом пропозициональной логики является классическая функциональная логика истинности. Принцип бивалентности и закон исключённого третьего поддерживаются. По сравнению с логикой первого порядка, функциональная логика истинности считается логикой нулевого порядка. Она была расширена его последователями – стоиками. Эта логика была сосредоточена на пропозициях. Это отличалось от традиционной силлогистической логики, которая была сосредоточена на терминах. Однако большая часть оригинальных трудов была утеряна, и в период между III и VI веками н.э. стоическая логика исчезла в забвении, чтобы быть возрождённой только в XX веке, в связи с (пере)открытием пропозициональной логики. Символическая логика, которая стала важной для уточнения пропозициональной логики, была впервые разработана математиком XVII-XVIII веков Готфридом Лейбницем, чья *calculus ratiocinator*, однако, была неизвестна широкому логическому сообществу. Следовательно, многие достижения Лейбница были воссозданы логиками, такими как Джордж Буль и Август Де Морган, полностью независимо от Лейбница. Логика предикатов Готлоба Фреге опирается на пропозициональную логику и описывается как сочетание «отличительных черт силлогистической логики и пропозициональной логики». Следовательно, логика предикатов открыла новую эру в истории логики; однако, после Фреге продолжались достижения в пропозициональной логике, включая натуральную дедукцию, деревья истинности и таблицы истинности. Натуральная дедукция была изобретена Герхардом Гентценом и Станиславом Яшковским. Деревья истинности были изобретены Эвертом Виллемом Бетом. Изобретение таблиц истинности, однако, не имеет однозначного авторства. В работах Фреге и Бертранда Рассела содержатся идеи, оказавшие влияние на изобретение таблиц истинности. Фактическая табличная структура (форматированная как таблица) обычно приписывается либо Людвигу Витгенштейну, либо Эмилю Посту (или обоим независимо), а также Эрнсту Шрёдеру. Другими, которым приписывают табличную структуру, являются Ян Лукасевич, Альфред Норт Уайтхед, Уильям Стэнли Джевонс, Джон Венн и Кларенс Ирвинг Льюис. Такие недекларативные предложения не имеют истинностного значения и рассматриваются только в неклассических логиках, называемых эротическими и императивными логиками.
The propositional calculus is a branch of logic. It is also called propositional logic, statement logic, sentential logic, It deals with propositions and relations between propositions, including the construction of arguments based on them. Compound propositions are formed by connecting propositions by logical connectives representing the truth functions of conjunction, disjunction, implication, biconditional, and negation. Some sources include other connectives, as in the table below. Unlike first order logic, propositional logic does not deal with non logical objects, predicates about them, or quantifiers. However, all the machinery of propositional logic is included in first order logic and higher order logics. In this sense, propositional logic is the foundation of first order logic and higher order logic. Propositional logic is typically studied with a formal language, in which propositions are represented by letters, which are called propositional variables. These are then used, together with symbols for connectives, to make compound propositions. Because of this, the propositional variables are called atomic formulas of a formal zeroth order language. |
! Connective
! Symbol
|
| AND
| , , , ,
|
| equivalent
| , ,
|
| implies
| , ,
|
| NAND
| , ,
|
| nonequivalent
| , ,
|
| NOR
| , ,
|
| NOT
| , , ,
|
| OR
| , , ,
|
| XNOR
| XNOR
|
| XOR
| ,
|}
The most thoroughly researched branch of propositional logic is classical truth functional propositional logic, The principle of bivalence and the law of excluded middle are upheld. By comparison with first order logic, truth functional propositional logic is considered to be zeroth order logic. and expanded by his successor Stoics. The logic was focused on propositions. This was different from the traditional syllogistic logic, which focused on terms. However, most of the original writings were lost and, at some time between the 3rd and 6th century CE, Stoic logic faded into oblivion, to be resurrected only in the 20th century, in the wake of the (re) discovery of propositional logic. Symbolic logic, which would come to be important to refine propositional logic, was first developed by the 17th/18th century mathematician Gottfried Leibniz, whose calculus ratiocinator was, however, unknown to the larger logical community. Consequently, many of the advances achieved by Leibniz were recreated by logicians like George Boole and Augustus De Morgan, completely independent of Leibniz. Gottlob Frege's predicate logic builds upon propositional logic, and has been described as combining "the distinctive features of syllogistic logic and propositional logic." Consequently, predicate logic ushered in a new era in logic's history; however, advances in propositional logic were still made after Frege, including natural deduction, truth trees and truth tables. Natural deduction was invented by Gerhard Gentzen and Stanisław Jaśkowski. Truth trees were invented by Evert Willem Beth. The invention of truth tables, however, is of uncertain attribution. Within works by Frege and Bertrand Russell, are ideas influential to the invention of truth tables. The actual tabular structure (being formatted as a table), itself, is generally credited to either Ludwig Wittgenstein or Emil Post (or both, independently). and Ernst Schröder. Others credited with the tabular structure include Jan Łukasiewicz, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn, and Clarence Irving Lewis. Such non declarative sentences have no truth value, and are only dealt with in nonclassical logics, called erotetic and imperative logics.
Составление предложений со связующими
В пропозициональной логике, высказывание может содержать одно или несколько других высказываний в качестве частей. Это достигается путем объединения их с помощью логических связок: основными типами составных высказываний являются отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и бикондиционалы. В английском языке эти связки выражаются словами "and" (конъюнкция), "or" (дизъюнкция), "not" (отрицание), "if" (материальное следствие), и "if and only if" (бикондиционал). Таким образом, в классической логике аргумент является валидным, хотя он может быть обоснованным или необоснованным, в зависимости от метеорологических фактов в конкретном контексте. Этот пример аргумента будет повторно использован при объяснении.
Действительность и надежность
Аргумент является валидным, если и только если необходимо, чтобы, если все его посылки истинны, его заключение также было истинным. Альтернативно, аргумент валиден, если и только если невозможно, чтобы все посылки были истинными, а заключение – ложным. Посылки располагаются над линией вывода, а заключение – под ней. Линия вывода также обозначается символом ⊢. Символ ⊧ также используется для обозначения логического следования. Некоторые авторы используют заполнители, простые формулы, в то время как другие используют их без пояснений. Именно эта рекурсия в определении синтаксиса языка оправдывает использование термина "атомный" по отношению к пропозициональным переменным, поскольку все формулы языка строятся из атомов как из фундаментальных строительных блоков. Это более распространено в информатике, чем в философии. Данное положение, в силу своей самореферентности (поскольку входит в некоторые ветви определения ), также является рекурсивным определением и, следовательно, специфицирует весь язык. Чтобы расширить его и добавить модальные операторы, достаточно добавить в конец этого положения. Пропозициональные переменные охватывают множество всех атомных пропозиций. Другие авторы также включают эти символы с тем же значением, но рассматривают их как "функторы истинности с нулевым аргументом". Например, утверждение "Википедия – это бесплатная онлайн-энциклопедия, которую может редактировать любой" оценивается как Истина, а "Википедия – это бумажная энциклопедия" – как Ложь. В остальном, следующая формальная семантика применима к языку любой пропозициональной логики, однако предположения о наличии только двух семантических значений (бивалентность), о том, что каждой формуле в языке присваивается только одно из этих значений (непротиворечивость), и о том, что каждой формуле присваивается значение (закон исключённого третьего), являются отличительными чертами классической логики. В любом случае, интерпретация формального языка для классической логики часто выражается в виде таблиц истинности. Дизъюнкция может быть определена через отрицание и конъюнкцию как ¬(¬p ∧ ¬q). Или просто как адекватная. Необходимо различать эквивалентность и бикондиционал. (Что касается эквивалентности, Хаусон называет её "эквивалентностью по истинностным значениям", а Каннингем – "логической эквивалентностью".) Эквивалентность обозначается символом ⇔ и является символом метаязыка, в то время как бикондиционал обозначается символом ↔ и является логической связкой в объектном языке. В любом случае, эквивалентность или бикондиционал истинны, если и только если формулам, соединенным ими, присваивается одно и то же семантическое значение при любой интерпретации. Другие авторы часто не проводят это различие и могут использовать термин "эквивалентность" для обозначения бикондициональной связки в их объектном языке.
Семантические системы доказательств
Семантические системы доказательств опираются на концепцию семантического следования, символизируемого как , что указывает на то, что если истинно, то также должно быть истинно при любой интерпретации. Полным перечислением значений истинности составляющих его атомарных формул таблица истинности может показать, является ли предложение истинным, ложным, тавтологией или противоречием. См. .
Семантические таблицы
Семантическая таблица — это еще один метод семантического доказательства, который систематически исследует истинность высказывания. Она строит дерево, где каждая ветвь представляет собой возможную интерпретацию задействованных высказываний. Если каждая ветвь приводит к противоречию, исходное высказывание считается противоречием, а его отрицание — тавтологией. См. .
Синтаксические системы проверки
Синтаксические системы доказательств, напротив, сосредоточены на формальной манипуляции символами в соответствии с определенными правилами. Отношение синтаксического следования, ⊢, обозначает, что формула может быть выведена из формулы с использованием правил формальной системы. В логике высказываний аксиоматические системы определяют базовый набор предложений, которые считаются самоочевидно истинными, а теоремы доказываются путем применения правил дедукции к этим аксиомам. См. .
Естественное вычеты
Естественная дедукция — это синтаксический метод доказательства, который акцентирует внимание на выводе заключений из посылок посредством интуитивно понятных правил, отражающих естественный ход рассуждений. Каждое правило соответствует определенному логическому связующему элементу и демонстрирует способы его введения и устранения. Разработанный Герхардом Гентценом, этот подход сосредотачивается на структурных свойствах логических доказательств и предоставляет эффективный инструмент для доказательства утверждений в пропозициональной логике.