Кіріспе

Математикалық оңтайландыруда Лагранж көбейтушілерінің әдісі – функцияның теңдеулік шектеулерге (яғни, айнымалылардың таңдалған мәндері бір немесе бірнеше теңдеуді қанағаттандыруы тиіс деген шартқа) сәйкес жергілікті максимумдарын және минимумдарын табу стратегиясы. Бұл әдіс математик Жозеф Луи Лагранждың есімімен аталады.

Айтылым

Келесі Лагранж көбейтуші теоремасы деп аталады. f функциясы мақсатты функция болсын, g шектеу функциясы болсын, екеуі де C¹ класына жатады (яғни, үздіксіз бірінші туындылары бар). Келесі оптимизациялық мәселенің оңтайлы шешімі болсын, яғни, бөлшектік туындылар матрицасы үшін:

Содан кейін, бірегей Лагранж көбейткіші λ бар, осындай: (Бұл өлшемдердің сәйкес келуін қамтамасыз ету үшін λ баған векторы ретінде қарастырылатын дәстүрлі тәсіл. Бірақ, транспозициясыз қатар векторы ретінде де қарастыруға болады.) Лагранж көбейтуші теоремасы, теңдік шектеулері бойынша есептелген функцияның кез келген жергілікті максимумында (немесе минимумында), егер шектеу талаптары орындалса (төменде түсіндіріледі), онда функцияның градиенті (сол нүктеде) шектеулердің градиенттерінің сызықтық комбинациясы түрінде (сол нүктеде) өрнектеледі, мұнда Лагранж көбейткіштері коэффициенттер рөлінде әрекет етеді. Бұл, функцияның градиентіне перпендикуляр кез келген бағыт, сонымен қатар шектеулердің барлық градиенттеріне де перпендикуляр екенін айтумен бірдей. Немесе, функцияның бағыттық туындысы барлық мүмкін бағыттарда 0-ге тең болады.

Дифференциацияланатын коллекторлар арқылы заманауи пішімдеу

Шектеулерге қатысты жергілікті максимумдар мен минимумдарды табу мәселесі дифференциалданатын көптүрлілікте жергілікті максимумдар мен минимумдарды табуға дейін жалпылауға болады. Бұдан әрі, Евклид кеңістігі немесе тіпті Римандық көптүрлілік болуы міндетті емес. Градиенттің кездесетін барлық жағдайларын (Риман метрикасын таңдауға байланысты) сыртқы туындымен алмастыруға болады.

Қажетті шарттар

Лагранж өрнегінің екінші туындыларының шектелген Гесс матрицасының негізгі кіші минорларының (жоғарғы сол жақтан басталатын кіші матрицалардың детерминанттарының) тізбегі арқылы шектелген жергілікті максимум немесе минимум үшін жеткілікті шарттарды көрсетуге болады.

Басқару теориясы

Оптималды басқару теориясында Лагранж көбейткіштері костаттық айнымалылар ретінде қарастырылады, ал Лагранж көбейткіштері Понтриагиннің ең кіші мәнді принципi бойынша Гамильтон функциясының минимизациялануы ретінде жаңадан формулировкаланады.

Сызықтық емес бағдарламалау

Лагранж көбейтуші әдісінің бірнеше жалпыламалары бар. Сызықтық емес бағдарламалауда теңсіздік шектеулері үшін бірнеше көбейтуші ережелері бар, мысалы, Каратеодори-Джон көбейтуші ережесі және Дөңгелек көбейтуші ережесі.

Электр жүйелері

Лагранж көбейтушілеріне негізделген әдістер қуат жүйелерінде, мысалы, таратылған энергия ресурстарын (ТЭР) орналастыру және жүктемені азайту сияқты қолданыстарға ие.

Қауіпсіз күшейтуді үйрену

Лагранж көбейтушілерінің әдісі шектеулі Марков шешім процестеріне қолданылады. Ол қауіпсіз күшейту оқытуда градиентке негізделген бастапқы-қос алгоритмдерін табиғи түрде тудырады.

Жарылу

— сонымен қатар физикада қолданылатын вариациялық есептеудегі Лагранж көбейтушілері туралы қысқаша талқылау.