Кіріспе

Граф теориясындағы классикалық мәселе

Кенигсбергтің жеті көпірі – математика тарихындағы маңызды мәселе. Леонхард Эйлердің 1736 жылы берген теріс жауабы граф теориясының негізін қалады және топология идеясын болжады. Пруссиядағы Кенигсберг қаласы (қазіргі Калининград, Ресей) Прегель өзенінің екі жағасында орналасқан, және Кнейпхоф және Ломсе атты екі үлкен аралды қамтыды. Бұл аралдар жеті көпір арқылы бір-бірімен және қаланың екі құрлық бөлігімен байланысқан. Мәселе – қаланың әр көпірінен бір рет ғана өтетін маршрутты табу еді. Логикалық міндетті нақты анықтау үшін, шешімдер аралға немесе құрлық жағалауына көпірлердің бірі арқылы емес, немесе кез келген көпірдің екінші жағына жетпей өтуді қамтитын жағдайда қабылдауға болмайды. Эйлер бұл мәселенің шешімі жоқ екенін дәлелдеді. Оның алдында тұрған қиындық – тиімді талдау әдісін және осы тұжырымды математикалық дәлдікпен растайтын келесі тексерулерді әзірлеу болды.

Математика тарихы мен философиясындағы маңызы

Математика тарихында Эйлердің Кенигсберг көпірлері мәселесін шешуі графтар теориясының алғашқы теоремасы және желілер теориясының алғашқы нақты дәлелі саналады. Бұл сала қазіргі кезде комбинаториканың бір тармағы ретінде қарастырылады. Басқа типтегі комбинаторлық мәселелер ежелгі заманнан бері зерттелген. Эйлердің көпірлердің саны мен олардың соңғы нүктелерінің тізімі (олардың нақты орналасуы емес) маңызды ақпарат екенін түсінуі топологияның дамуын болжады. Нақты орналасу мен график схемасы арасындағы айырмашылық – топологияның нысандардың қатаң пішінімен айналыспайтындығының жақсы мысалы. Сондықтан, Эйлер көрскендей, "орналасу геометриясы" "өлшемдер мен есептеулер" туралы емес, көбірек жалпылама нәрсе туралы. Бұл математиканың "сан ғылымы" екендігі туралы дәстүрлі Аристотельдік көзқарасқа күдік тудырды. Бұл көзқарас арифметика мен Евклид геометриясына сай болғанымен, топологияға және қазіргі математикада зерттелетін абстрактілірек құрылымдық ерекшеліктерге сай келмеді. Философтар Эйлердің дәлелі абстракция немесе шындықтың моделі емес, көпірлердің нақты орналасуы туралы екенін атап өтті. Осылайша, математикалық дәлелдің нақтылығы тікелей шындыққа қатысты болуы мүмкін. Дәлел сонымен қатар түсіндірмелік болып табылады, нәтиже неге дұрыс болуы керектігін түсіндіреді.

Көпірлердің қазіргі жағдайы

Екінші дүниежүзілік соғыста Кенигсберг бомбаға ұшыраған кезде, бастапқы жеті көпірдің екеуі жойылды. Тағы екеуі кейіннен бұзылып, олардың орнына тас жол салынды. Қалған үш көпір сақталған, бірақ олардың екеуі ғана Эйлер заманынан жеткен (біреуі 1935 жылы қайта салынған). Осылайша, 2023 жылға қарай Эйлердің мәселесіне қатысты жерлерде бес көпір бар. Графтар теориясы тұрғысынан алғанда, екі түйіннің дәрежесі 2-ге, ал қалған екеуінің дәрежесі 3-ке тең. Сондықтан, Эйлер жолы енді мүмкін, бірақ ол бір аралдан басталып, екінші аралда аяқталуы керек. Крайстчерчтегі Кентербери университеті ескі Физика ғылымдары кітапханасы мен Эрскин ғимараты арасындағы жасыл алаңға көпірлердің моделін орналастырды, онда Математика, Статистика және Компьютерлік ғылымдар кафедралары орналасқан. Өзендердің орнына қысқа бұталар отырғызылған, ал орталық аралда тас торо орнатылған. Рочестер технология институты 2014 жылы ашылған Ген Полиссени орталығының алдындағы тротуарға осы мәселені бейнелеген сурет салды, ал Джорджия технология институты 2018 жылы жеті көпірдің ландшафттық өнер моделін орнатты. Осы мәселенің танымал нұсқасы – Бристоль көпірлерімен жүру. Тарихи Кенигсберг сияқты, Бристоль де екі өзен жағалауында және екі өзен аралында орналасқан. Дегенмен, Бристольдегі 45 маңызды көпірдің орналасуы Эйлерлік циклдің болуын қамтамасыз етеді. Бұл цикл туралы кітап жазылған және түрлі қайырымдылық шараларында көрсетілген.