Графтар теориясында, жазық граф – жазықтықта орналастырыла алатын граф, яғни оның қабырғалары тек қана соңғы нүктелерінде қиылысатындай етіп жазықтықта салынуы мүмкін. Басқаша айтқанда, қабырғалары бір-бірімен қиыспайтындай етіп салуға болады. Мұндай салу жазықтық граф немесе графиктің жазықтыққа ендірілуі деп аталады. Жазық граф – жазықтықтағы әрбір төбесіне бір нүкте, ал әрбір қабырғасына сол жазықтықтағы жазық қисық сәйкес келетін граф ретінде анықталады, мұнда әр қисықтың шеткі нүктелері оның соңғы төбелерінен бейнеленген нүктелер болып табылады және барлық қисықтар шеткі нүктелерінен басқа жерде бөлек болады. Жазықтықта сызылған кез келген граф стереографиялық проекция арқылы сферада да, керісінше, сызылуы мүмкін. Жазық графтар комбинаторлық карталар немесе айналу жүйелері арқылы кодталады. Сферадағы топологиялық эквивалентті салулардың эквиваленттік класы, әдетте, көпірлердің болмауы сияқты қосымша шарттармен, жазық карта деп аталады. Жазық графтың сыртқы немесе шексіз беті болғанымен, жазық картаның ешбір беті ерекше мәртебеге ие емес. Жазық графтар берілген туыстың бетінде салынатын графтарға жалпыланады. Бұл терминологияда жазық графтар 0-туысты болады, өйткені жазықтық (және сфера) 0-туыстың беттері болып табылады. Қосымша тақырыптар үшін "графты ендіру" бетіне қараңыз.
In graph theory, a planar graph is a graph that can be embedded in the plane, i. e., it can be drawn on the plane in such a way that its edges intersect only at their endpoints. In other words, it can be drawn in such a way that no edges cross each other. Such a drawing is called a plane graph or planar embedding of the graph. A plane graph can be defined as a planar graph with a mapping from every node to a point on a plane, and from every edge to a plane curve on that plane, such that the extreme points of each curve are the points mapped from its end nodes, and all curves are disjoint except on their extreme points. Every graph that can be drawn on a plane can be drawn on the sphere as well, and vice versa, by means of stereographic projection. Plane graphs can be encoded by combinatorial maps or rotation systems. An equivalence class of topologically equivalent drawings on the sphere, usually with additional assumptions such as the absence of isthmuses, is called a planar map. Although a plane graph has an external or unbounded face, none of the faces of a planar map has a particular status. Planar graphs generalize to graphs drawable on a surface of a given genus. In this terminology, planar graphs have genus 0, since the plane (and the sphere) are surfaces of genus 0. See "graph embedding" for other related topics.
Орташа деңгейі
Бірден көп жиегі бар жалғасқан жазық графиктер 2e ≥ 3f теңсіздігіне бағынады, себебі әрбір жағында кем дегенде үш жиек-жақ байланысы болады және әрбір жиек дәл екі байланысқа үлес қосады. Бұл теңсіздікті Эйлер формуласымен (1 = v – e + f = 2) алгебралық түрлендіру арқылы шектеулі жазық графиктер үшін орташа дәреже 6-дан кем екені шығады. Орташа дәрежесі жоғарырақ графиктер жазық бола алмайды.
Connected planar graphs with more than one edge obey the inequality 2e ≥ 3f, because each face has at least three face edge incidences and each edge contributes exactly two incidences. It follows via algebraic transformations of this inequality with Euler's formula 1=v – e + f = 2 that for finite planar graphs the average degree is strictly less than 6. Graphs with higher average degree cannot be planar.
Монеталық графиктер
Біз жазықтықта салынған екі шеңбер, егер олар дәл бір нүктеде қиылысса, жанасады (немесе тиіседі) дейміз. "Монеталық граф" – бұл шеңберлер жиынынан құрылған граф, олардың ешқайсысының ішкі бөліктері бірімен-бірі жабыспайды, әр шеңбер үшін бір төбе және жанасқан шеңберлердің әр жұбы үшін бір қабырға жасалады. Пауль Коэбе 1936 жылы алғаш дәлелдеген шеңберлерді жинақтау теоремасы, граф жазық болатындығын, егер ол монеталық граф болса ғана анықтайды. Бұл нәтиже Фари теоремасын оңай дәлелдеуге мүмкіндік береді, яғни кез келген қарапайым жазық графты жазықтықта оның қабырғалары бір-бірімен қиыспайтын түзу сызық кесінділері болатындай етіп ендіруге болады. Егер графиктің әрбір төбесін монеталық графтың бейнесіндегі сәйкес шеңбердің ортасына орналастырсақ, онда жанасқан шеңберлердің орталықтары арасындағы түзу сызық кесінділері басқа қабырғалардан өтпейді.
We say that two circles drawn in a plane kiss (or osculate) whenever they intersect in exactly one point. A "coin graph" is a graph formed by a set of circles, no two of which have overlapping interiors, by making a vertex for each circle and an edge for each pair of circles that kiss. The circle packing theorem, first proved by Paul Koebe in 1936, states that a graph is planar if and only if it is a coin graph. This result provides an easy proof of Fáry's theorem, that every simple planar graph can be embedded in the plane in such a way that its edges are straight line segments that do not cross each other. If one places each vertex of the graph at the center of the corresponding circle in a coin graph representation, then the line segments between centers of kissing circles do not cross any of the other edges.
Екілік график
Берілген жазықтықта жиектері қиылыспайтын (қажетті емес қарапайым) жалғасқан графтың G енуін қарастыра отырып, G* екілік графигін келесідей құрастырамыз: G-нің әрбір бетінде (сыртқы бетін қоса алғанда) бір түйін таңдаймыз және G-дегі әрбір e жиегі үшін G-дегі екі бетке сәйкес келетін G* түйіндерін жалғайтын G* жаңа жиегін енгіземіз. Бұдан әрі, бұл жиек e жиегімен дәл бір рет қиылысатындай және G немесе G* жиектерімен басқа қиылыстар болмайтындай етіп салынады. Осыдан кейін G* қайтадан (қажетті емес қарапайым) жазықтық графтың енуі болады; оның жиектері G жиектерінің санына тең, түйіндері G беттерінің санына тең және беттері G түйіндерінің санына тең. "Екілік" термині 1=G** = G фактісімен негізделеді; мұндағы теңдік сферадағы енулердің эквиваленттілігін білдіреді. Егер G дөңес көпжаққа сәйкес жазықтық граф болса, онда G* сол көпжақтың екілік графигіне сәйкес жазықтық граф болады. Екілік графтар пайдалы, себебі екілік графтың көптеген қасиеттері бастапқы графтың қасиеттерімен қарапайым байланыста болады, бұл олардың екілік графтарын қарастыру арқылы графтар туралы нәтижелерді дәлелдеуге мүмкіндік береді. Белгілі бір ену үшін құрастырылған екілік бірегей (изоморфизмге дейін), бірақ графтарда әртүрлі (яғни изоморф емес) екілік графтар болуы мүмкін, олар әртүрлі (яғни гомеоморф емес) енулерден алынады.
Given an embedding G of a (not necessarily simple) connected graph in the plane without edge intersections, we construct the dual graph G* as follows: we choose one vertex in each face of G (including the outer face) and for each edge e in G we introduce a new edge in G* connecting the two vertices in G* corresponding to the two faces in G that meet at e. Furthermore, this edge is drawn so that it crosses e exactly once and that no other edge of G or G* is intersected. Then G* is again the embedding of a (not necessarily simple) planar graph; it has as many edges as G, as many vertices as G has faces and as many faces as G has vertices. The term "dual" is justified by the fact that 1=G** = G; here the equality is the equivalence of embeddings on the sphere. If G is the planar graph corresponding to a convex polyhedron, then G* is the planar graph corresponding to the dual polyhedron. Duals are useful because many properties of the dual graph are related in simple ways to properties of the original graph, enabling results to be proven about graphs by examining their dual graphs. While the dual constructed for a particular embedding is unique (up to isomorphism), graphs may have different (i. e. non isomorphic) duals, obtained from different (i. e. non homeomorphic) embeddings.
Максималды жазықтық графиктер
Қарапайым график, егер ол жазық болса және берілген төбелер жиынында кез келген қабырғаны қосу осы қасиетті жоятын болса, максималды жазық график деп аталады. Барлық жақтары (сыртқы жағын қоса алғанда) үш қабырғамен шектеледі, бұл жазықтық үшбұрышталғандығын түсіндіреді. "Үшбұрышты график" немесе "үшбұрышталған график" деген балама атаулар да қолданылған, бірақ олар көбінесе толық графиктің сызықтық графигіне және сәйкесінше хордалық графиктерге сілтеме жасайды. Кез келген максималды жазық график кем дегенде 3-қосылған. Егер максималды жазық графта v > 2 төбесі болса, онда оның дәл 3v – 6 қабырғасы және 2v – 4 жағы болады. Аполлондық желілер – үшбұрышты жақтарды кішірек үшбұрыштардың үштіктеріне қайта-қайта бөлу арқылы құрылған максималды жазық графиктер. Балама ретінде, олар 3-жазықтықты ағаштар болып табылады. Құлатылған графиктер – әрбір шеткі цикл үшбұрыш болатын графиктер. Максималды жазық графта (немесе жалпы полиэдрлік графтарда) шеткі циклдар жақтар болып табылады, сондықтан максималды жазық графиктер құлатылған. Құлатылған графиктерге хордалық графиктер де кіреді және олар толық графиктер мен максималды жазық графиктердің кликалық қосындыларымен (қабырғаларды жоймай) құрылатын графиктер болып табылады.
A simple graph is called maximal planar if it is planar but adding any edge (on the given vertex set) would destroy that property. All faces (including the outer one) are then bounded by three edges, explaining the alternative term plane triangulation. The alternative names "triangular graph" or "triangulated graph" have also been used, but are ambiguous, as they more commonly refer to the line graph of a complete graph and to the chordal graphs respectively. Every maximal planar graph is at least 3 connected. If a maximal planar graph has v vertices with v > 2, then it has precisely 3v – 6 edges and 2v – 4 faces. Apollonian networks are the maximal planar graphs formed by repeatedly splitting triangular faces into triples of smaller triangles. Equivalently, they are the planar 3 trees. Strangulated graphs are the graphs in which every peripheral cycle is a triangle. In a maximal planar graph (or more generally a polyhedral graph) the peripheral cycles are the faces, so maximal planar graphs are strangulated. The strangulated graphs include also the chordal graphs, and are exactly the graphs that can be formed by clique sums (without deleting edges) of complete graphs and maximal planar graphs.
Сыртқы графиктер
Сыртқы жазықтық графиктер — барлық төбелері ендірудің шексіз бетінде орналасқан графиктер. Кез келген сыртқы жазықтық график жазықтық болып табылады, бірақ керісіне дұрыс емес: K4 жазықтық, бірақ сыртқы жазықтық емес. Куратовский теоремасына ұқсас теорема бойынша, шекті граф сыртқы жазықтық болып есептеледі, егер ол K4 немесе K2,3 графигінің бөлігін қамтымаса. Жоғарыда айтылғандар G графигінің сыртқы жазықтығы екенін көрсетеді, егер G графигіне жаңа төбе қосылып, одан басқа барлық төбелерге қабырғалар қосылса, нәтижедегі график жазықтық болады. Графтың 1-сыртқы жазықтықтағы ендіруі сыртқы жазықтықтағы ендірумен бірдей. k > 1 үшін, жазықтық ендіруі k-сыртқы жазықтық болып есептеледі, егер сыртқы бетіндегі төбелер алынып тасталғаннан кейін (k – 1)-сыртқы жазықтық ендіруі алынса. Граф k-сыртқы жазықтық, егер оның k-сыртқы жазықтық ендіруі болса.
Outerplanar graphs are graphs with an embedding in the plane such that all vertices belong to the unbounded face of the embedding. Every outerplanar graph is planar, but the converse is not true: K4 is planar but not outerplanar. A theorem similar to Kuratowski's states that a finite graph is outerplanar if and only if it does not contain a subdivision of K4 or of K2,3. The above is a direct corollary of the fact that a graph G is outerplanar if the graph formed from G by adding a new vertex, with edges connecting it to all the other vertices, is a planar graph. A 1 outerplanar embedding of a graph is the same as an outerplanar embedding. For k > 1 a planar embedding is k outerplanar if removing the vertices on the outer face results in a (k – 1) outerplanar embedding. A graph is k outerplanar if it has a k outerplanar embedding.
Халин графиктері
Халин графы – бұл бағытталмаған жазықтық ағашынан (екі дәрежелі түйіндері жоқ) құрылған граф, онда ағаштың жазықтыққа ендірілу ретімен оның жапырақтары циклге қосылады. Басқаша айтқанда, бұл полиэдрлік граф, онда бір жақ барлық басқа жақтармен іргелес. Кез келген Халин графы жазық болып табылады. Сыртқы жазықтық графтар сияқты, Халин графтарының да ағаш ені төмен, сондықтан көптеген алгоритмдік есептерді шектеусіз жазықтық графтарға қарағанда оңай шешуге болады.
A Halin graph is a graph formed from an undirected plane tree (with no degree two nodes) by connecting its leaves into a cycle, in the order given by the plane embedding of the tree. Equivalently, it is a polyhedral graph in which one face is adjacent to all the others. Every Halin graph is planar. Like outerplanar graphs, Halin graphs have low treewidth, making many algorithmic problems on them more easily solved than in unrestricted planar graphs.
Жоғарға қарай жазықтық графиктер
Жоғары бағытталған жазық граф – бұл жазықтықта өзінің қабырғалары қиыспайтын, үнемі жоғары бағытталған қисық сызықтар түрінде бейнеленетін бағытталған ациклді граф. Барлық жазық бағытталған ациклді графтар жоғары бағытталған жазық графтар емес, және берілген графтың жоғары бағытталған жазық екенін анықтау NP-толық мәселе болып табылады.
An upward planar graph is a directed acyclic graph that can be drawn in the plane with its edges as non crossing curves that are consistently oriented in an upward direction. Not every planar directed acyclic graph is upward planar, and it is NP complete to test whether a given graph is upward planar.
Қиыршық жазықты графиктер
Жазықтық графтың барлық жақтары (сыртқы жағын қоса алғанда) дөңгелек көпбұрыштар болса, онда ол дөңгелек деп аталады. Барлық жазықтық графтар дөңгелек түрде бейнелене бермейді (мысалы, толық екіұшты граф). Графты дөңгелек түрде салу үшін жеткілікті шарт – оның 3 төбесі байланысқан жазықтық графтың бөлігі болуы. Тюттенің серпімді теоремасы тіпті қарапайым 3 төбесі байланысқан жазықтық графтар үшін ішкі төбелердің орнын олардың көршілерінің орташасы ретінде таңдауға болатынын көрсетеді.
A planar graph is said to be convex if all of its faces (including the outer face) are convex polygons. Not all planar graphs have a convex embedding (e. g. the complete bipartite graph ). A sufficient condition that a graph can be drawn convexly is that it is a subdivision of a 3 vertex connected planar graph. Tutte's spring theorem even states that for simple 3 vertex connected planar graphs the position of the inner vertices can be chosen to be the average of its neighbors.
Сөзбен бейнеленетін жазық графиктер
Сөзбен бейнеленетін жазық графиктерге үшбұрықсыз жазық графиктер және, жалпы алғанда, 3 түске боялатын жазық графиктер, сондай-ақ үшбұрышты тор графиктердің кейбір беттік бөліністері және тормен жабылған цилиндрлік графиктердің кейбір үшбұрышталулары жатады.
Word representable planar graphs include triangle free planar graphs and, more generally, 3 colourable planar graphs, as well as certain face subdivisions of triangular grid graphs, and certain triangulations of grid covered cylinder graphs.
Жазық графиктерді санау
(белгіленген) жазық графтардың санының асимптотикасы , мұндағы және . Дерлік барлық жазық графтардың экспоненциалдық саны автоморфизмдерге ие. жазық графтардың белгісіз (изоморфты емес) саны мен аралығында жатыр.
The asymptotic for the number of (labeled) planar graphs on vertices is , where and
Almost all planar graphs have an exponential number of automorphisms. The number of unlabeled (non isomorphic) planar graphs on vertices is between and .
Жалпылау
Апекс графигі – бір төбесін жою арқылы жазыққа келтірілетін график, ал k апекс графигі – ең көп дегенде k төбесін жою арқылы жазыққа келтірілетін график. 1 жазықтық графигі – жазықтықта әр қабырғасы үшін ең көп дегенде бір қарапайым қиылысумен салынуы мүмкін график, ал k жазықтық графигі – әр қабырғасы үшін ең көп дегенде k қарапайым қиылысумен салынуы мүмкін график. Карталық график – жазықтықтағы шекті көп, жай ғана байланысқан ішкі аймақтар жиынтығынан құрылған график, мұнда екі аймақ кем дегенде бір шекаралық нүктемен бөліседі. Егер ең көп дегенде үш аймақ бір нүктеде түйіссе, онда ол жазық график болады, ал төрт немесе одан да көп аймақ бір нүктеде түйіссе, онда ол жазық емес болуы мүмкін (мысалы, шеңберді секторларға бөліп қарастырсақ, секторлар аймақтар болса, онда сәйкес карталық график толық график болады, өйткені барлық секторлардың ортақ шекарасы бар орта нүктесі). Тороидтық граф – торда қиылыстарсыз орналастырылатын граф. Жалпы алғанда, графтың туысы – графты ендіруге болатын екі өлшемді беттің ең төменгі туысы; жазық графиктердің туысы нөл, ал жазық емес тороидтық графиктердің туысы бір. Кез келген график қиылыстарсыз қандай да бір (бағытталған, байланысты) жабық екі өлшемді бетке (құлақтары бар шар) ендіріле алады, сондықтан графтың туысы анықталған. Әрине, егер графты g туысы бар (бағытталған, байланысты, жабық) бетке қиылыстарсыз ендіруге болады, онда оны барлық (бағытталған, байланысты, жабық) g-дан үлкен немесе тең туысы бар беттерге қиылыстарсыз ендіруге болады. Граф теориясында «X туысы» деп аталатын басқа да ұғымдар бар, мұнда «X» – белгілі бір толықтырушы; жалпы алғанда, олар жоғарыда анықталған «туыс» ұғымынан ерекшеленеді. Әсіресе, графтың бағытталмаған туысы (анықтамасында бағытталмаған беттерді пайдаланады) жалпы граф үшін осы графтың туысынан (анықтамасында бағытталған беттерді пайдаланады) өзгеше. Кез келген график үш өлшемді кеңістікке қиылыстарсыз ендіріле алады. Шындығында, кез келген график екі жазықтықта қиылыстарсыз салынуы мүмкін, мұнда екі жазықтық бірін бірің қабаттап орналастырылады және қабырғаларға бір жазықтықтан екіншісіне кез келген жерде «көтерілуге» және «түсуге» рұқсат етіледі (тек графтың төбелерінде емес), сондықтан қабырғалар басқа қабырғалармен қиылысудан аулақ бола алады. Бұл екі жақты схемалық тақтамен кез келген электрлік өткізгіш желісін жасауға болады дегенді білдіреді (нақты схемалық тақталардағыдай, тақтаның жоғарғы жағындағы электрлік қосылымдар сымдар арқылы, ал төменгі жағында тақтаға салынған мыс жолдармен жасалады және тақтаның жақтары арасындағы электрлік байланыс тесіктерді бұрғылау, сымдарды тесіктер арқылы өткізу және оларды жолдарға дәнекерлеу арқылы жасалады); сондай-ақ, кез келген жол желісін құру үшін тек көпірлер немесе тек туннельдер қажет, екі деңгей жеткілікті, ал үш деңгей қажет емес. Үш өлшемде қиылыстарсыз график салу мәселесі тривиальды. Алайда, жазық графиктердің үш өлшемді аналогын сілтемесіз ендіруге болатын графиктер ұсынады, яғни екі циклдің бір-бірімен топологиялық байланысы жоқ үш өлшемді кеңістікке ендірілетін графиктер. Куратовский мен Вагнердің жазық графиктерді K5 немесе K3,3 кіші графигін қамтамайтын графиктер ретінде сипаттауына ұқсас, сілтемесіз ендіруге болатын графиктер Петерсен отбасындағы жеті графиктің ешқайсысын кіші графигі ретінде қамтамайтын графиктер ретінде сипатталуы мүмкін. Сыртқы және жазық графиктерді Колин де Вердиер графигінің инварианты ең көп дегенде екі немесе үш болатын графиктер ретінде сипаттағандай, сілтемесіз ендіруге болатын графиктер Колин де Вердиер инварианты ең көп дегенде төрт болатын графиктер.
An apex graph is a graph that may be made planar by the removal of one vertex, and a k apex graph is a graph that may be made planar by the removal of at most k vertices. A 1 planar graph is a graph that may be drawn in the plane with at most one simple crossing per edge, and a k planar graph is a graph that may be drawn with at most k simple crossings per edge. A map graph is a graph formed from a set of finitely many simply connected interior disjoint regions in the plane by connecting two regions when they share at least one boundary point. When at most three regions meet at a point, the result is a planar graph, but when four or more regions meet at a point, the result can be nonplanar (for example, if one thinks of a circle divided into sectors, with the sectors being the regions, then the corresponding map graph is the complete graph as all the sectors have a common boundary point the centre point). A toroidal graph is a graph that can be embedded without crossings on the torus. More generally, the genus of a graph is the minimum genus of a two dimensional surface into which the graph may be embedded; planar graphs have genus zero and nonplanar toroidal graphs have genus one. Every graph can be embedded without crossings into some (orientable, connected) closed two dimensional surface (sphere with handles) and thus the genus of a graph is well defined. Obviously, if the graph can be embedded without crossings into a (orientable, connected, closed) surface with genus g, it can be embedded without crossings into all (orientable, connected, closed) surfaces with greater or equal genus. There are also other concepts in graph theory that are called "X genus" with "X" some qualifier; in general these differ from the above defined concept of "genus" without any qualifier. Especially the non orientable genus of a graph (using non orientable surfaces in its definition) is different for a general graph from the genus of that graph (using orientable surfaces in its definition). Any graph may be embedded into three dimensional space without crossings. In fact, any graph can be drawn without crossings in a two plane setup, where two planes are placed on top of each other and the edges are allowed to "jump up" and "drop down" from one plane to the other at any place (not just at the graph vertexes) so that the edges can avoid intersections with other edges. This can be interpreted as saying that it is possible to make any electrical conductor network with a two sided circuit board where electrical connection between the sides of the board can be made (as is possible with typical real life circuit boards, with the electrical connections on the top side of the board achieved through pieces of wire and at the bottom side by tracks of copper constructed on to the board itself and electrical connection between the sides of the board achieved through drilling holes, passing the wires through the holes and soldering them into the tracks); one can also interpret this as saying that in order to build any road network, one only needs just bridges or just tunnels, not both (2 levels is enough, 3 is not needed). Also, in three dimensions the question about drawing the graph without crossings is trivial. However, a three dimensional analogue of the planar graphs is provided by the linklessly embeddable graphs, graphs that can be embedded into three dimensional space in such a way that no two cycles are topologically linked with each other. In analogy to Kuratowski's and Wagner's characterizations of the planar graphs as being the graphs that do not contain K5 or K3,3 as a minor, the linklessly embeddable graphs may be characterized as the graphs that do not contain as a minor any of the seven graphs in the Petersen family. In analogy to the characterizations of the outerplanar and planar graphs as being the graphs with Colin de Verdière graph invariant at most two or three, the linklessly embeddable graphs are the graphs that have Colin de Verdière invariant at most four.