Введение

Множество без нетривиальных полиномиальных равенств

В абстрактной алгебре подмножество поля F алгебраически независимо над подполем K, если элементы этого подмножества не удовлетворяют никакому нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами в K. В частности, множество, состоящее из одного элемента {a}, алгебраически независимо над K тогда и только тогда, когда a является трансцендентным над K. В общем случае, все элементы алгебраически независимого множества над K по необходимости являются трансцендентными над K, и над всеми полевыми расширениями над K, порожденными остальными элементами этого множества.

Теорема Линдемана и Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса часто может быть использована для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над полем рациональных чисел. Она утверждает, что если α₁, α₂, ..., αₙ — алгебраические числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то α₁, α₂, ..., αₙ также алгебраически независимы над полем рациональных чисел.

Алгебраические матроиды

При расширении поля, которое не является алгебраическим, лемма Зорна может быть использована для доказательства того, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество из над полем. Более того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую кардинальность, известную как степень трансцендентности расширения. Для любого множества элементов , алгебраически независимые подмножества удовлетворяют аксиомам, определяющим независимые множества матроида. В этом матроиде ранг множества элементов равен его степени трансцендентности, а замкнутость, порожденная множеством элементов, является пересечением с полем. Матроид, который может быть сгенерирован таким образом, называется алгебраическим матроидом. Хорошей характеристики алгебраических матроидов не известно, но некоторые матроиды являются неалгебраическими; наименьшим из них является матроид Вамоса. Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей над полем , где элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, и множество элементов независимо, если соответствующий набор столбцов линейно независим. Любой матроид с таким линейным представлением также может быть представлен как алгебраический матроид, выбрав неопределённое для каждой строки матрицы и используя коэффициенты матрицы в каждом столбце для задания каждому элементу матроида линейной комбинации этих трансцендентальных элементов. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление.