Физикалық жүйенің дискретті компоненттер желісіне келуі

Кіріспе

Физикалық жүйені дискретті компоненттер желісіне келу

Топтас элементі моделі (сонымен қатар топтас параметрлік модель немесе топтас компоненті моделі деп те аталады) – физикалық жүйенің немесе тізбектің барлық компоненттері бір нүктеде шоғырланған және олардың мінез-құлқы идеалданған математикалық модельдермен сипатталуы мүмкін деп есептейтін қарапайымдалған бейнелеу. Топтас элементі моделі жүйенің немесе тізбектің мінез-құлқының сипаттамасын топологияға дейін жеңілдетеді. Ол электр жүйелерінде (электрониканы қоса алғанда), механикалық көп дене жүйелерінде, жылу алмасуда, акустикада және т.б. пайдалы. Бұл таратылған параметрлік жүйелер немесе модельдерден өзгеше, онда мінез-құлық кеңістікте таратылады және дискретті нысандарға локальданған деп қарастырылмайды. Қарапайымдастыру жүйенің күй кеңістігін шекті өлшемге дейін, ал физикалық жүйенің үздіксіз (шексіз өлшемді) уақыт және кеңістік моделінің дербес дифференциалдық теңдеулерін (ДДТ) шекті сандағы параметрлері бар қалыпты дифференциалдық теңдеулерге (ҚДТ) дейін азайтады.

Толық материалды тәртіп

Түйірленген материалдар пәні – электр инженериясындағы желілік талдауда қолданылатын түйірленген схемалық абстракцияның негізін құрайтын қабылданған шарттар жиынтығы. Өзіне-өзі қойылған шектеулер: өткізгіштен тыс магниттік ағынның уақыт бойынша өзгеруі нөлге тең. Электр өткізгіш элементтердегі зарядтың уақыт бойынша өзгеруі нөлге тең. Қызығушылық тудыратын сигналдың уақыт өлшемдері түйірленген элементтер арқылы электромагниттік толқындардың таралу кешігуінен әлдеқайда үлкен. Алғашқы екі шарт Максвелл теңдеулеріне қолданғанда Кирхгофтың заңдарына алып келеді және тізбек тұрақты күйде болғанда ғана қолданылады. Үшінші шарт желілік талдауда қолданылатын түйірленген элемент модельдерінің негізі болып табылады. Аз қатаң шарттар таратылған элемент моделіне алып келеді, бірақ толық Максвелл теңдеулерін тікелей қолдануды қажет етпейді.

Бірде-бір элементті модель

Электрондық схемалардың жиынтық модельдемесі схеманың кедергі, сыйымдылық, индуктивтілік және күшейту сияқты атрибуттарын идеалдандырылған электр компоненттеріне – резисторларға, конденсаторларға, индукторларға және т.б. – шоғырландырады, олар өте жақсы өткізгіш сымдар желісімен байланысқан. Жиынтық модель схеманың сипаттамалық ұзындығы (l) схеманың жұмыс толқын ұзындығынан (λ) кішкентай болғанда ғана жарамды, яғни l << λ. Әйтпесе, егер схеманың ұзындығы толқын ұзындығына шамалас болса, біз динамикалық мінез-құлқы Максвелл теңдеулерімен сипатталатын, таратылған элементтер моделін (беріліс желілерін қоса алғанда) сияқты көбірек жалпылама модельдерді қарастыруымыз керек. Жиынтық модельдің жарамдылығын бағалаудың тағы бір жолы – бұл модель сигналдардың схема бойынша таралуына жұмсалатын уақытты ескермейтінін атап өту. Егер осы таралу уақыты қолданыс үшін маңызды болмаса, жиынтық модельді қолдануға болады. Бұл таралу уақыты сигналдың периодынан әлдеқайда аз болған кезде орын алады. Дегенмен, таралу уақыты ұлғайған сайын, сигналдың күтілетін және нақты фазасы арасындағы қателік артады, бұл өз кезегінде сигналдың күтілетін амплитудасының қателігіне әкеледі. Жиынтық модельді қолдануға болатын нақты шегі белгілі бір қолданыста сигналдың қаншалықты дәл білуі керек екеніне байланысты. Нақты компоненттер идеалды емес сипаттамаларды көрсетеді, олар шын мәнінде таратылған элементтер болып табылады, бірақ көбінесе бірінші реттік жуықтау бойынша жиынтық элементтермен бейнеленеді. Мысалы, конденсаторлардағы ағып кетуді ескеру үшін, идеалды емес конденсаторды параллель қосылған үлкен кедергілі резистор ретінде модельдеуге болады, бірақ шын мәнінде ағып кету диэлектрик бойынша таратылған. Сол сияқты, сыммен оралған резисторда индуктивтілік де, кедергі де болады, олар оның ұзындығы бойынша таратылған, бірақ біз оны идеалды резистормен тізбекте қосылған жиынтық индуктор ретінде модельдей аламыз.

The lumped element model of electronic circuits makes the simplifying assumption that the attributes of the circuit, resistance, capacitance, inductance, and gain, are concentrated into idealized electrical components; resistors, capacitors, and inductors, etc. joined by a network of perfectly conducting wires. The lumped element model is valid whenever , where denotes the circuit's characteristic length, and denotes the circuit's operating wavelength. Otherwise, when the circuit length is on the order of a wavelength, we must consider more general models, such as the distributed element model (including transmission lines), whose dynamic behaviour is described by Maxwell's equations. Another way of viewing the validity of the lumped element model is to note that this model ignores the finite time it takes signals to propagate around a circuit. Whenever this propagation time is not significant to the application the lumped element model can be used. This is the case when the propagation time is much less than the period of the signal involved. However, with increasing propagation time there will be an increasing error between the assumed and actual phase of the signal which in turn results in an error in the assumed amplitude of the signal. The exact point at which the lumped element model can no longer be used depends to a certain extent on how accurately the signal needs to be known in a given application. Real world components exhibit non ideal characteristics which are, in reality, distributed elements but are often represented to a first order approximation by lumped elements. To account for leakage in capacitors for example, we can model the non ideal capacitor as having a large lumped resistor connected in parallel even though the leakage is, in reality distributed throughout the dielectric. Similarly a wire wound resistor has significant inductance as well as resistance distributed along its length but we can model this as a lumped inductor in series with the ideal resistor.

Жылу жүйелері

Жиынтық сыйымдылық моделі, сондай-ақ жиынтық жүйелік талдау деп те аталады, жылу жүйесін бірнеше дискретті “жиынтарға” дейін азайтады және әрбір жиын ішіндегі температура айырмашылығының мардымсыз екенін қабылдайды. Бұл жуықтау, әйтпесе күрделі дифференциалдық жылу теңдеулерін жеңілдету үшін пайдалы. Ол электрлік сыйымдылықтың математикалық аналогы ретінде әзірленген, бірақ электрлік кедергілердің жылулық аналогтарын да қамтиды. Жиынтық сыйымдылық моделі – бұл өткізу кезіндегі жиі қолданылатын жуықтау, ол заттың ішіндегі жылу өткізгіштігі заттың шекарасы арқылы жылу алмасудан әлдеқайда жылдам болған кезде қолданылуы мүмкін. Жуықтау әдісі осылайша өткізу жүйесінің бір аспектісін (заттың ішіндегі кеңістіктік температураның өзгеруін) математикалық тұрғыдан шешуге қолайлы формаға дейін азайтады (яғни, заттың ішіндегі температура кеңістікте толығымен біркелкі деп есептеледі, бірақ бұл кеңістіктегі біркелкі температура мәні уақыт өте келе өзгереді). Заттың немесе жүйенің бөлігіндегі біркелкі температураның өсуін жылуды сіңіретін сыйымдылық резервуар ретінде қарастыруға болады, ол уақыт өте келе тұрақты жылулық күйге жеткенге дейін (содан кейін температура өзгермейді) оны сіңіреді. Мұндай физикалық жеңілдетулердің нәтижесінде математикалық жай мінез-құлықты көрсететін жиынтық сыйымдылық жүйесінің ерте кезде табылған мысалы – Ньютонның салқындату заңына сәйкес келетін жүйелер. Бұл заң жай ғана ыстық (немесе суық) заттың температурасы қоршаған ортаның температурасына қарай экспоненциалды түрде өзгереді деп айтады. Заттар осы заңды тек олардың ішіндегі жылу өткізгіштігі оларға кіретін немесе олардан шығатын жылу ағынынан әлдеқайда үлкен болған жағдайда ғана қатаң түрде орындайды. Мұндай жағдайларда кез келген уақытта бір ғана “зат температурасы” туралы айтудың мәні бар (өйткені заттың ішінде кеңістіктегі температураның өзгеруі жоқ), сонымен қатар заттың ішіндегі біркелкі температура оның жалпы жылу энергиясының артық немесе тапшылығы оның беткі температурасына пропорционалды түрде өзгеруіне мүмкіндік береді, осылайша Ньютонның салқындату заңының температураның төмендеу жылдамдығы зат пен қоршаған орта арасындағы айырмашылыққа пропорционалды болуын талап етеді. Бұл өз кезегінде қарапайым экспоненциалды жылыну немесе салқындату мінез-құлқына әкеледі (толық мәліметтер төменде).

A lumped capacitance model, also called lumped system analysis, reduces a thermal system to a number of discrete “lumps” and assumes that the temperature difference inside each lump is negligible. This approximation is useful to simplify otherwise complex differential heat equations. It was developed as a mathematical analog of electrical capacitance, although it also includes thermal analogs of electrical resistance as well. The lumped capacitance model is a common approximation in transient conduction, which may be used whenever heat conduction within an object is much faster than heat transfer across the boundary of the object. The method of approximation then suitably reduces one aspect of the transient conduction system (spatial temperature variation within the object) to a more mathematically tractable form (that is, it is assumed that the temperature within the object is completely uniform in space, although this spatially uniform temperature value changes over time). The rising uniform temperature within the object or part of a system, can then be treated like a capacitative reservoir which absorbs heat until it reaches a steady thermal state in time (after which temperature does not change within it). An early discovered example of a lumped capacitance system which exhibits mathematically simple behavior due to such physical simplifications, are systems which conform to Newton's law of cooling. This law simply states that the temperature of a hot (or cold) object progresses toward the temperature of its environment in a simple exponential fashion. Objects follow this law strictly only if the rate of heat conduction within them is much larger than the heat flow into or out of them. In such cases it makes sense to talk of a single "object temperature" at any given time (since there is no spatial temperature variation within the object) and also the uniform temperatures within the object allow its total thermal energy excess or deficit to vary proportionally to its surface temperature, thus setting up the Newton's law of cooling requirement that the rate of temperature decrease is proportional to difference between the object and the environment. This in turn leads to simple exponential heating or cooling behavior (details below).

Қолданылатын жағдайлар

Бұл заң көптеген жағдайларды сипаттайды, онда объект үлкен жылу сыйымдылығымен және жоғары өткізгіштікпен сипатталады және кенеттен жылуды нашар өткізетін біртекті ортаға батырылады. Бұл бір резистивті және бір сыйымдылық элементі бар жылу тізбегінің мысалы. Заңның дұрыстығы үшін, дене ішіндегі барлық нүктелердегі температура, оның бетіндегі температураны қоса алғанда, әр уақыт мезгілінде шамамен бірдей болуы керек. Осылайша, дене мен ортаның арасындағы температура айырмашылығы дененің қай бөлігі таңдалғанына тәуелді емес, себебі дененің барлық бөліктерінің температурасы бірдей болады. Мұндай жағдайларда, дененің материалы дененің басқа бөліктерін жылу ағынынан "оқшаулауға" тырыспайды, ал жағдайдағы жылу ағынының жылдамдығын бақылайтын маңызды оқшаулау (немесе "жылулық кедергі") дененің және оның ортасымен жанасқан бетінің арасында орналасқан. Осы шекарада температура үздіріссіз өзгереді. Мұндай жағдайларда, жылу сыртқы ортадан дененің ішкі бөлігіне конвекция, өткізгіштік немесе диффузия арқылы, оқшаулағыш шекара арқылы берілуі мүмкін, егер бұл шекара дененің ішкі бөлігіне қатысты нашар өткізгіш болса. Физикалық оқшаулағыштың болуы міндетті емес, егер шекара арқылы жылуды беру процесі дене ішіндегі жылудың өткізгіштік арқылы берілуімен салыстырғанда "баяу" болса (немесе жоғарыда сипатталған "жинақы" аймақ ішінде). Мұндай жағдайда, объект "сыйымдылық" тізбегінің элементі ретінде әрекет етеді, ал шекарадағы жылулық контактінің кедергісі (бірден-бір) жылулық кедергі ретінде әрекет етеді. Электр тізбектерінде мұндай комбинация уақыт бойынша экспоненциалды заңға сәйкес кіріс кернеуіне қарай зарядталады немесе разрядталады. Жылу тізбегінде бұл конфигурация температурада да сол сияқты мінез-құлықты тудырады: объект температурасының орта температурасына экспоненциалды жақындауы.

This law describes many situations in which an object has a large thermal capacity and large conductivity, and is suddenly immersed in a uniform bath which conducts heat relatively poorly. It is an example of a thermal circuit with one resistive and one capacitative element. For the law to be correct, the temperatures at all points inside the body must be approximately the same at each time point, including the temperature at its surface. Thus, the temperature difference between the body and surroundings does not depend on which part of the body is chosen, since all parts of the body have effectively the same temperature. In these situations, the material of the body does not act to "insulate" other parts of the body from heat flow, and all of the significant insulation (or "thermal resistance") controlling the rate of heat flow in the situation resides in the area of contact between the body and its surroundings. Across this boundary, the temperature value jumps in a discontinuous fashion. In such situations, heat can be transferred from the exterior to the interior of a body, across the insulating boundary, by convection, conduction, or diffusion, so long as the boundary serves as a relatively poor conductor with regard to the object's interior. The presence of a physical insulator is not required, so long as the process which serves to pass heat across the boundary is "slow" in comparison to the conductive transfer of heat inside the body (or inside the region of interest—the "lump" described above). In such a situation, the object acts as the "capacitative" circuit element, and the resistance of the thermal contact at the boundary acts as the (single) thermal resistor. In electrical circuits, such a combination would charge or discharge toward the input voltage, according to a simple exponential law in time. In the thermal circuit, this configuration results in the same behavior in temperature: an exponential approach of the object temperature to the bath temperature.

Қолданбалар

Бұл талдау әдісі сот-медициналық салада адамның қайтыс болу уақытын анықтау үшін қолданылған. Сонымен қатар, оны HVAC (жылу, желдету және кондиционерлеу, немесе "ғимараттың климаттық бақылауы") жүйелеріне қолдануға болады, бұл жайлылық деңгейін өзгертуге байланысты дереу әсерді қамтамасыз етеді.

Акустика

Осыған байланысты, жиынтық компонент моделі акустикалық теорияның таратылған ұғымдарын жуықтау арқылы кеңейтеді. Акустикалық жиынтық компонент моделінде акустикалық қасиеттері бар белгілі бір физикалық компоненттер стандартты электрондық компоненттерге немесе компоненттердің қарапайым комбинацияларына ұқсас түрде әрекет ететіндей деп есептеуге болады. Ауаны (немесе ұқсас икемді сұйықтықты) қамтитын қатты қабырғалы кеңістік, кеңістіктің көлеміне пропорционалды конденсатор ретінде есептелуі мүмкін. Бұл жуықтаудың дұрыстығы, қызығушылық тудыратын ең қысқа толқын ұзындығы кеңістіктің ең ұзын өлшемінен әлдеқайда (көп есе) үлкен болуына байланысты. Рефлекстік портты индуктор ретінде қарастыруға болады, оның шамасы порттың тиімді ұзындығын оның көлденең қимасының ауданына бөлгенге пропорционалды. Тиімді ұзындық – нақты ұзындық плюс түйіндемелік түзету. Бұл жуықтау порттың ең ұзын өлшемінен әлдеқайда үлкен ең қысқа толқын ұзындығына негізделген. Демпферлік материалдың кейбір түрлерін резистор ретінде жуықтауға болады. Шамасы материалдың қасиеттері мен өлшемдеріне байланысты. Бұл жуықтау толқын ұзындығының жеткілікті ұзын болуына және материалдың өзінің қасиеттеріне байланысты. Дыбыс шығару құрылымы (әдетте, нұсқауыш немесе субнұсқауыш құрылымы) нөлдік кедергілі кернеу көзі, резистор, конденсатор және индуктордың тізбекті қосылысы ретінде қарастырылуы мүмкін. Шамалары құрылымның сипаттамаларына және қызығушылық тудыратын толқын ұзындығына байланысты.

Ғимараттар үшін жылу беру

Бұл саладағы оңайлатушы болжам – барлық жылу алмасу механизмдері сызықтық, яғни радиация және конвекция әрбір мәселе үшін сызықтық түрде қарастырылады. Ғимараттардың жиынтық элементтік модельдерін қалай жасауға болатынын сипаттайтын бірнеше жарияланым бар. Көп жағдайда ғимарат бір жылулық аймақ ретінде қарастырылады, және осы жағдайда көп қабатты қабырғаларды жиынтық элементтерге айналдыру модельді құрудың ең қиын міндеттерінің бірі болуы мүмкін. Басым қабат әдісі – қарапайым және жеткілікті дәлдігі жоғары әдіс. Бұл әдісте қабаттардың бірі бүкіл конструкция үшін басым қабат ретінде таңдалады, бұл қабат мәселенің ең маңызды жиіліктерін ескере отырып таңдалады. Ғимараттардың жиынтық элементтік модельдері әртүрлі болашақ ауа райы сценарийлерінде көптеген симуляцияларды жүргізу арқылы тұрмыстық энергия жүйелерінің тиімділігін бағалау үшін де қолданылған.

Сұйықтық жүйелері

Сұйық жүйелерді кернеуді қысымды, ал ток – ағынды бейнелеу арқылы жиынтық элементтерді қолданатын жүрек-қан тамыр модельдерімен сипаттауға болады; осы екі айнымалыны алмастырғаннан кейін электр тізбегінің сипаттамасынан алынған бірдей теңдеулер қолданылады. Мұндай қолданыстар, мысалы, адамның жүрек-қан тамыр жүйесінің қарыншалық көмекші құрылғыны орнатуға жауабын зерттеуге мүмкіндік береді.