Введение

Упрощение физической системы до сети дискретных компонентов

Модель сосредоточенных элементов (также называемая моделью сосредоточенных параметров или моделью дискретных компонентов) – это упрощенное представление физической системы или схемы, которое предполагает, что все компоненты сконцентрированы в одной точке, а их поведение может быть описано идеализированными математическими моделями. Модель сосредоточенных элементов упрощает описание поведения системы или схемы, сводя его к топологии. Она полезна в электрических системах (включая электронику), механических многотельных системах, теплопередаче, акустике и т.д. Это противопоставляется системам или моделям с распределенными параметрами, в которых поведение распределено в пространстве и не может рассматриваться как локализованное в отдельные элементы. Упрощение уменьшает пространство состояний системы до конечной размерности, а частные дифференциальные уравнения (ПДУ) непрерывной (бесконечномерной) пространственно-временной модели физической системы преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с конечным числом параметров.

Дисциплина по кусочкам

Дисциплина сосредоточенных параметров – это набор принятых допущений в электротехнике, который служит основой для абстракции сосредоточенных цепей, используемой в анализе сетей. Самостоятельно наложенные ограничения:
Изменение магнитного потока во времени вне проводника равно нулю. Изменение заряда во времени внутри проводящих элементов равно нулю. Временные масштабы интересующих сигналов значительно больше времени задержки распространения электромагнитных волн в сосредоточенном элементе. Первые два допущения приводят к законам Кирхгофа для цепей при применении к уравнениям Максвелла и применимы только в установившемся режиме. Третье допущение является основой модели сосредоточенных элементов, используемой в анализе сетей. Менее строгие допущения приводят к модели распределенных элементов, при этом прямое применение полных уравнений Максвелла не требуется.

Модель с единым элементом

Модель электронных схем с сосредоточенными элементами делает упрощающее предположение, что характеристики схемы – сопротивление, емкость, индуктивность и усиление – сосредоточены в идеализированных электрических компонентах: резисторах, конденсаторах и индукторах и т.д., соединенных сетью идеально проводящих проводов. Модель с сосредоточенными элементами справедлива, когда , где обозначает характеристический размер схемы, а – рабочую длину волны схемы. В противном случае, когда размер схемы сопоставим с длиной волны, необходимо рассматривать более общие модели, такие как модель распределенных элементов (включая линии передачи), динамическое поведение которых описывается уравнениями Максвелла. Другой взгляд на применимость модели с сосредоточенными элементами заключается в том, что она не учитывает конечное время распространения сигналов в цепи. Если это время распространения несущественно для конкретного применения, можно использовать модель с сосредоточенными элементами. Это справедливо, когда время распространения значительно меньше периода сигнала. Однако с увеличением времени распространения возрастает расхождение между предполагаемой и фактической фазой сигнала, что, в свою очередь, приводит к ошибке в предполагаемой амплитуде сигнала. Точная граница применимости модели с сосредоточенными элементами в определенной степени зависит от требуемой точности определения сигнала в конкретном приложении. Реальные компоненты обладают неидеальными характеристиками, которые по сути являются распределенными элементами, но часто, в первом приближении, представляются сосредоточенными элементами. Например, для учета утечки в конденсаторах мы можем моделировать неидеальный конденсатор как имеющий большой сосредоточенный резистор, включенный параллельно, хотя на самом деле утечка распределена по всему диэлектрику. Аналогично, проволочный резистор обладает значительной индуктивностью, а также сопротивлением, распределенным по его длине, но мы можем смоделировать это как сосредоточенную индуктивность, включенную последовательно с идеальным резистором.

Тепловые системы

Модель сосредоточенной теплоемкости, также называемая анализом системы как совокупности сосредоточенных параметров, сводит тепловую систему к ряду дискретных "сосредоточенных элементов" и предполагает, что разность температур внутри каждого элемента пренебрежимо мала. Это приближение полезно для упрощения сложных дифференциальных уравнений теплопроводности. Она была разработана как математический аналог электрической емкости, хотя включает также тепловые аналоги электрического сопротивления. Модель сосредоточенной теплоемкости – распространенное приближение при нестационарной теплопроводности, которое можно использовать, когда теплопроводность внутри объекта значительно выше, чем теплопередача через его границу. Метод приближения таким образом упрощает один аспект нестационарной теплопроводности (пространственное изменение температуры внутри объекта), приводя его к более удобной для математического анализа форме (то есть предполагается, что температура внутри объекта полностью однородна в пространстве, хотя это однородное значение температуры изменяется со временем). Нарастание однородной температуры внутри объекта или части системы можно рассматривать как емкостный резервуар, поглощающий тепло до достижения установившегося теплового состояния (после чего температура в нем перестает изменяться). Ранним примером системы с сосредоточенной теплоемкостью, демонстрирующей математически простое поведение благодаря таким физическим упрощениям, являются системы, подчиняющиеся закону Ньютона об охлаждении. Этот закон утверждает, что температура горячего (или холодного) объекта стремится к температуре окружающей среды экспоненциально. Объекты строго следуют этому закону только в том случае, когда скорость теплопроводности внутри них значительно превышает тепловой поток в них или из них. В таких случаях целесообразно говорить об одной "температуре объекта" в любой момент времени (поскольку пространственное изменение температуры внутри объекта отсутствует), а однородность температуры позволяет его общей тепловой энергии избытка или дефицита изменяться пропорционально температуре поверхности, тем самым удовлетворяя требованию закона Ньютона об охлаждении, согласно которому скорость снижения температуры пропорциональна разнице между температурой объекта и окружающей среды. Это, в свою очередь, приводит к простому экспоненциальному нагреву или охлаждению (подробности ниже).

Применимые ситуации

Этот закон описывает множество ситуаций, в которых объект обладает большой теплоемкостью и высокой теплопроводностью и внезапно погружается в однородную среду, плохо проводящую тепло. Это пример тепловой цепи, состоящей из одного резистивного и одного емкостного элемента. Для справедливости закона температура во всех точках внутри тела должна быть приблизительно одинаковой в каждый момент времени, включая температуру на его поверхности. Следовательно, разность температур между телом и окружающей средой не зависит от выбранной части тела, поскольку все его части имеют практически одинаковую температуру. В этих ситуациях материал тела не препятствует тепловому потоку к другим его частям, и вся существенная теплоизоляция (или "тепловое сопротивление"), определяющая скорость теплообмена, сосредоточена в области контакта между телом и окружающей средой. На этой границе температура изменяется скачкообразно. В таких случаях тепло может передаваться от внешней среды к внутренней части тела через эту изолирующую границу посредством конвекции, теплопроводности или диффузии, при условии, что граница является относительно плохим проводником по отношению к внутреннему объему объекта. Физический изолятор не обязателен, пока процесс передачи тепла через границу достаточно "медленный" по сравнению с теплопроводностью внутри тела (или внутри интересующей области – "комка", описанного выше). В такой ситуации объект функционирует как "емкостный" элемент цепи, а тепловое сопротивление контакта на границе выступает в роли (единственного) теплового резистора. В электрических цепях подобная комбинация заряжается или разряжается к входному напряжению по простому экспоненциальному закону. В тепловой цепи эта конфигурация приводит к аналогичному поведению температуры: экспоненциальному приближению температуры объекта к температуре среды.

Приложения

Этот метод анализа применяется в криминалистике для определения времени смерти человека. Также его можно применять к системам отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха (ОВКВ), или, как их называют, "контролю климата в зданиях", для обеспечения практически мгновенной реакции на изменение настроек комфорта.

Акустика

В этом контексте модель сосредоточенных элементов расширяет распределенные концепции акустической теории с использованием приближений. В акустической модели сосредоточенных элементов определенные физические компоненты с акустическими свойствами могут быть аппроксимированы как аналогичные стандартным электронным компонентам или простым комбинациям компонентов. Жесткостенная полость, содержащая воздух (или аналогичную сжимаемую жидкость), может быть аппроксимирована конденсатором, емкость которого пропорциональна объему полости. Корректность этого приближения зависит от того, что самая короткая интересующая длина волны значительно (во много раз) больше, чем наибольший размер полости. Рефлекторный порт может быть аппроксимирован индуктором, значение которого пропорционально эффективной длине порта, деленной на площадь его поперечного сечения. Эффективная длина – это фактическая длина плюс поправка на концевой эффект. Это приближение справедливо, если самая короткая интересующая длина волны значительно больше, чем наибольший размер порта. Определенные типы демпфирующих материалов могут быть аппроксимированы резистором. Значение зависит от свойств и размеров материала. Приближение справедливо при достаточно большой длине волны и учитывает свойства самого материала. Головка громкоговорителя (обычно НЧ или СЧ головка) может быть аппроксимирована последовательным соединением источника напряжения с нулевым импедансом, резистора, конденсатора и индуктора. Значения зависят от характеристик головки и интересующей длины волны.

Передача тепла для зданий

Упрощающим предположением в данной области является линейность всех механизмов теплопередачи, что подразумевает линеаризацию излучения и конвекции для каждой конкретной задачи. Существует ряд публикаций, описывающих способы создания моделей сосредоточенных параметров для зданий. В большинстве случаев здание рассматривается как единая тепловая зона, и в этом случае преобразование многослойных стен в сосредоточенные элементы может быть одной из самых сложных задач при построении модели. Метод доминирующего слоя – это один из простых и достаточно точных подходов. В рамках этого метода один из слоев выбирается в качестве доминирующего для всей конструкции, при этом выбор слоя производится с учетом наиболее значимых частот рассматриваемой задачи. Модели зданий, основанные на сосредоточенных параметрах, также использовались для оценки эффективности систем энергоснабжения жилых зданий путем проведения множества расчетов при различных прогнозируемых погодных условиях.

Системы жидкости

Жидкостные системы могут быть описаны с помощью кардиоваскулярных моделей, основанных на сосредоточенных элементах, используя напряжение для представления давления и ток – для представления расхода. Идентичные уравнения, используемые в электрических цепях, остаются справедливыми после замены этих двух величин. Такие модели могут, например, использоваться для изучения реакции сердечно-сосудистой системы человека на имплантацию устройства поддержки желудочков сердца.